Identität holomorpher Funktionen

26.08.2014, 16:18

Zellerli

Identität holomorpher Funktionen

Eine StEx-Aufgabe vom Frühjahr:
Es seien $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \setminus \{i\} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{C} \setminus \{i\} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph,
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ habe in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ einen Pol und
für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelte
$\begin{eqnarray*} f\left(i+\frac{1}{n}\right)=g\left(i+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:
Entweder ist $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ oder
es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} (z_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \setminus \{i\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} z_n = i= \lim_{n \to \infty} g(z_n) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Untersuchen Sie den Typ der Singularität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

Ich habe angefangen:

i) g hat hebbare Singularität in i
Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ beschränkt auf einer punktierten Umgebung um $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aber nicht. Dieser Fall kann also nicht eintreten.

Langfassung:
Die Laurent-Reihe von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hat o.B.d.A. einen Summanden $\begin{eqnarray*} a \cdot (z-i)^{-m} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (maximales $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , also Ordnung des Pols) und $\begin{eqnarray*} 0 \neq a \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .
Somit ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(i+\frac{1}{n})=\lim_{n \to \infty} a\cdot (-\frac{1}{n})^{-m}=\pm \infty \end{eqnarray*}$ , also betragsmäßig unbeschränkt in jeder Umgebung um $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .
Als in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hebbare, aber ansonsten holomorphe Funktion ist, ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ jedoch beschränkt in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

ii) g hat Polstelle in i
Dann kann man den Def-Bereich mit $\begin{eqnarray*} \cdot (z-i)^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ erweitern und den Identitätssatz anwenden, weshalb $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ gilt.

Langfassung:
$\begin{eqnarray*} f_n(z):=f(z) \cdot (z-i)^n \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hebbar. $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ sei dann die "behobene", auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion (die gibt es, weil $\begin{eqnarray*} f_n(z) \end{eqnarray*}$ in einer punktierten Umgebung von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.
Analog $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . (Muss wohl sogar $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ sein, aber das spare ich mir an dieser Stelle und sage einfach) Sei $\begin{eqnarray*} k:=max(m,n) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f_k'(i+\frac{1}{n})=g_k'(i+ \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} i+\frac{1}{n}=i \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ (also in der Definitionsmenge der holomorphen Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_k' \end{eqnarray*}$ ) und Folgenstetigkeit gilt sowieso für die holomorphe Funktion, und deshalb nach Identitätssatz $\begin{eqnarray*} f_k'=g_k' \end{eqnarray*}$ . Nehme ich $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aus der Def-Menge, kann ich um $\begin{eqnarray*} (z-i)^k \end{eqnarray*}$ kürzen und erhalte $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \setminus \{i\} \end{eqnarray*}$ .

iii) g hat wesentliche Singularität in i
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann mit $\begin{eqnarray*} \cdot (z-i)^n \end{eqnarray*}$ beschränkt gemacht werden, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aber nicht. Dieser Fall kann also nicht eintreten.

Langfassung:
Es ist $\begin{eqnarray*} f_n(z) \end{eqnarray*}$ , definiert wie in ii), holomorph in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und damit beschränkt in einem Kreis um $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} K_R(i) \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| f_n(z) \right| < M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M(f,R) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ entsprechend, aber fest gewählt.
Betrachte $\begin{eqnarray*} g_m(z) \end{eqnarray*}$ . Es existiert für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} l \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A<\left| g_m(i + \frac{1}{l}) \right| \neq \left| f_n(i + \frac{1}{l}) \right| \end{eqnarray*}$ (letztere Ungleichheit für $\begin{eqnarray*} A:=M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m:=n \end{eqnarray*}$ ). Widerspruch.
Wäre dem aber nicht so, wäre $\begin{eqnarray*} g_m \end{eqnarray*}$ beschränkt in $\begin{eqnarray*} K_1(i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hätte "nur" eine Polstelle m-ten Grades in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Wo ist/sind mein(e) Fehler? Die Variante mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} g(z_n) = i \end{eqnarray*}$ während $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Polstelle in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hat, macht mich richtig fertig. Mir fällt nicht mal ein Beispiel dazu ein.

26.08.2014, 16:54

Guppi12

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Hallo,

der Fehler liegt in dieser Annahme hier (in Fall 3):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann mit $\begin{eqnarray*} \cdot (z-i)^n \end{eqnarray*}$ beschränkt gemacht werden, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aber nicht. Dieser Fall kann also nicht eintreten.

Du kannst g zwar damit nicht beschränkt machen, das brauchst du aber ja auch garnicht, es kann ja trotzdem sein, dass g dann auf dieser speziellen Menge, die du ja nur gegeben hast, eben doch beschränkt ist(ich meine die Menge $\begin{eqnarray*} \{i+\frac 1n~\vert~ n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ . Ein Beispiel: Die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-1/z^2} \end{eqnarray*}$ hat in 0 zwar eine wesentliche Singularität, ist aber auf der reellen Achse natürlich beschränkt.

Kennst du den Satz von Casorati Weierstraß?

26.08.2014, 16:55

tmo

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Der Fehler liegt bei iii). $\begin{align*} g(z-i)^m \end{align*}$ nimmt tatsächlich beliebig große Werte in jeder Umgebung von i an, aber eben nicht unbedingt auf der Folge $\begin{align*} i+1/l \end{align*}$ .

Und das im Fall iii) eine Folge wie in der Aufgabenstellung existiert, ist ja der bekannte Satz dass das Bild jeder Umgebung um eine wesentliche Singularität dicht liegt.

Ein Beispiel kannst du dir selbst basteln: Nimm für f irgendeine Funktion mit Pol und nehme dazu eine Funktion h mit wesentlicher Singularität, die eben genau auf der Folge i+1/n verschwindet. g=f+h tut's dann.

26.08.2014, 18:49

Zellerli

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Danke für eure Hilfe, Guppi12 und tmo!

Eine wesentliche Singularität muss also gar nicht immer bedeuten, dass der Funktionswert (unhebbar) abhaut. Darin lag mein Denk- und Strategiefehler.

An Casorati-Weierstraß hatte ich auch kurz gedacht, aber irgendwie habe ich nicht gesehen, wie er mir helfen kann. Ich sehe es immernoch nicht:
Jede Umgebung $\begin{eqnarray*} G \setminus\{i\} \end{eqnarray*}$ muss auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Warum muss $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ dann genau bei $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ laufen? Oder besagt "Es gibt eine Folge" das garnicht? Was sagt es dann?

26.08.2014, 20:18

Guppi12

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Zitat:

Oder besagt "Es gibt eine Folge" das garnicht? Was sagt es dann?

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Natürlich gilt nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to i}g(z) = i \end{eqnarray*}$ , das ist klar. Es ist aber möglich, sich $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ durch eine Folge so zu nähern, dass sich die Bildfolge dann $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nähert, und genau das ist zu zeigen. Dabei ist die Tatsache, dass hier der Limes der Folge selbst und der Limes der Bildfolge übereinstimmen vollkommen willkürlich. Tatsächlich könnte man (nach Casorati-Weierstraß) eben sogar für beliebiges $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ eine gegen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ konvergente Folge finden, deren Bildfolge gegen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dass man hier für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gewählt hat, könnte Verwirrungszwecken dienen.

Es bleibt also bei der Anwendung des Satzes. Schau dir dazu eine Folge von Umgebungen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ an, etwa $\begin{eqnarray*} U_n := B(i, \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Wähle jetzt $\begin{eqnarray*} x_n\in U_n \end{eqnarray*}$ , so, dass $\begin{eqnarray*} g(x_n) \to i \end{eqnarray*}$ .
Du kannst ja nochmal etwas darüber nachdenken, warum das so geht. Dass dann aber auch $\begin{eqnarray*} x_n \to i \end{eqnarray*}$ ist natürlich vollkommen klar.

Hilft dir das?

26.08.2014, 21:48

tmo

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Zitat:

Original von Zellerli
Warum muss $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ dann genau bei $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ laufen?

Tatsächlich ist der Wert i für den Grenzwert von $\begin{align*} g(z_n) \end{align*}$ ja total willkürlich gewählt und man hätte dort auch jede andere beliebige komplexe Zahl hinschreiben können. Das sagt ja gerade Casorati-Weierstraß.

Dass die Existenz dieser Folge sowieso nur im Fall einer wesentlichen Singularität auftreten kann und dass dann jeder beliebiger Grenzwert auftreten kann, war eigentlich a priori klar, denn an den Vorraussetzungen würde sich ja nichts ändern, wenn man $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ beide um die selbe konstante Zahl abändert, was dann auch automatisch den Grenzwert von $\begin{align*} g(z_n) \end{align*}$ um eben diese Konstante abändern würde.

Dass in der Aufgabenstellung dann mit $\begin{align*} i \end{align*}$ genau die Zahl als Grenzwert ausgesucht wurde, bei der auch die Singularität auftritt, ist sogar fast etwas fies, weil es einfach nur zur Verwirrung beitragen soll Big Laugh

27.08.2014, 00:15

Zellerli

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Sowas fieses smile

In solchen Fällen nimmt man doch immer die $\begin{eqnarray*} 42 \end{eqnarray*}$ , um die Willkür zu untermauern. Zumindest halte ich es in den Beweisen so, die solch eine Möglichkeit bieten.

Guppi12:

Zitat:

Schau dir dazu eine Folge von Umgebungen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ an, etwa $\begin{eqnarray*} U_n := B(i, \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Wähle jetzt $\begin{eqnarray*} x_n\in U_n \end{eqnarray*}$ , so, dass $\begin{eqnarray*} g(x_n) \to i \end{eqnarray*}$ .

Das ist witzig. In jeder dieser Umgebungen liegt nach Casorati-Weierstraß ein $\begin{eqnarray*} z_n' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(z_n')=i \end{eqnarray*}$ . Man muss jedes Glied der Folge $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ nur entsprechend definieren, also $\begin{eqnarray*} z_n:=z_n' \end{eqnarray*}$ . Im Zweifelsfall sind die ersten paar Folgeglieder $\begin{eqnarray*} z_1',...,z_{m-1}' \end{eqnarray*}$ identisch mit $\begin{eqnarray*} z_m' \end{eqnarray*}$ , (weil ja jede Umgebung alle folgenden enthält).
Konvergieren tut $\begin{eqnarray*} (z_n') \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} (U_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert (beide gegen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ). Und $\begin{eqnarray*} g(z_n')=i \end{eqnarray*}$ ist dann sogar konstant und trivialer Weise konvergent.
Fest benennen kann man die Lagen der $\begin{eqnarray*} z_n' \end{eqnarray*}$ in den jeweiligen Umgebungen $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ gar nicht ohne Kenntnis von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , aber verlangt war das ja auch nicht.

Schön.

Vielen Dank nochmal euch beiden!

27.08.2014, 01:06

Guppi12

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Ganz so funktioniert es noch nicht. Wir erhalten, nur dass $\begin{eqnarray*} \overline{g(U_n\setminus\{i\})} = \mathbb C \end{eqnarray*}$ , nicht dass $\begin{eqnarray*} g(U_n\setminus\{i\}) = \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Es muss also $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt im Bild liegen. Deswegen bekommt man nicht unbedingt eine konstante Folge. Man kann aber zum Beispiel aus $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} |g(x_n) - i| < \frac 1n \end{eqnarray*}$ .

29.08.2014, 01:30

Zellerli

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Ah, OK. $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kann nur beliebig genau approximiert werden, es muss nicht unbedingt angenommen werden.

29.08.2014, 09:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von tmo
Dass in der Aufgabenstellung dann mit $\begin{align*} i \end{align*}$ genau die Zahl als Grenzwert ausgesucht wurde, bei der auch die Singularität auftritt, ist sogar fast etwas fies, weil es einfach nur zur Verwirrung beitragen soll Big Laugh

Andererseits liegt das eine $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ in der Urbild-, das andere in der Bildebene.

Eine alternative Argumentation:
Hätte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ keine wesentliche Polstelle in $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ , so wäre einer der Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac fg \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac gf \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung dieses Punktes holomorph, womit nach dem Identitätssatz Gleichheit der beiden Funktionen folgt.

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