Teilbarkeit

27.08.2014, 00:53

lumi

Teilbarkeit

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe und komme nicht weiter:

Ermittle alle natürlichen Zahlen n, für welche (n+9)/(n-9) ebenfalls eine natürliche Zahl ist.

Danke für die evtl. Hilfe!

Meine Ideen:
Wenn (n+9)/(n-9) natürlich, dann muss n>9. Sei k eine Natürliche Zahl wobei
n+9= k(n-9)
Ich komme auf die Formel, dass n= 9 (k+1)/(k-1), wobei k eine natürliche Zahl ist. Aber auch nicht weiter...

27.08.2014, 01:05

Stephan Kulla

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RE: Teilbarkeit
Du hast das Problem schon einmal dadurch reduziert, dass du alle natürlichen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k-1} \end{eqnarray*}$ finden musst. Setze $\begin{eqnarray*} a=k+1 \end{eqnarray*}$ . Dann suchst du alle natürlichen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac a{a-2} \end{eqnarray*}$ . Der Nenner a-2 muss also ein Teiler der Zahl a sein. Nun ist a-2 kleiner als a. Also muss a-2=a/2, a-2=a/3, ... sein.

Ab jetzt solltest du eine Lösung finden. Tipp: a-2 ist für große a sicherlich größer als a/2. Ab welchem a ist dies der Fall?

27.08.2014, 01:27

lumi

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Wenn ich mich nicht irre, müsste a =3 oder a= 4 sein? Denn ansonsten wäre a rational.
Entsprechend komme ich auf Werte für n: 18 und 27. Ist das richtig?

27.08.2014, 01:45

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von lumi
Wenn ich mich nicht irre, müsste a =3 oder a= 4 sein? Denn ansonsten wäre a rational.
Entsprechend komme ich auf Werte für n: 18 und 27. Ist das richtig?

Sieht gut aus Augenzwinkern

27.08.2014, 09:26

HAL 9000

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RE: Teilbarkeit

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Du hast das Problem schon einmal dadurch reduziert, dass du alle natürlichen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k-1} \end{eqnarray*}$ finden musst.

Obacht: Es ist richtig, dass für alle $\begin{align*} k \end{align*}$ , für die $\begin{align*} \frac{k+1}{k-1} \end{align*}$ eine natürliche Zahl ist dann auch $\begin{align*} \frac{9(k+1)}{k-1} \end{align*}$ natürlich ist. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, wie man z.B. für $\begin{align*} k=4 \end{align*}$ leicht sieht.

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Ich würde vom Original ausgehend erstmal eine (hier sehr einfache) Polynomdivision durchführen, so dass im Zähler des Restbruches nur noch eine Zahl (d.h. kein $\begin{align*} n \end{align*}$ mehr) vorkommt:

$\begin{align*} \frac{n+9}{n-9} = \frac{(n-9)+18}{n-9} = 1 + \frac{18}{n-9} \end{align*}$

Dieser Term ist genau dann natürlich, wenn auch $\begin{align*} \frac{18}{n-9} \end{align*}$ natürlich ist (oder Null, was aber nicht möglich ist), und das ist wiederum äquivalent zu $\begin{align*} (n-9) \mid 18 \end{align*}$ . Die Primfaktorzerlegung von 18 liefert dann mittelbar alle Lösungen, es sind deren sechs, d.h. neben 18 und 27 noch vier weitere.

27.08.2014, 09:27

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Ahem, nein, sieht nicht gut aus. Da fehlen einige Lösungen.
Edit: Bin wieder weg Wink