Vektorfeld überprüfung (konservativ/Skalarpotential)

27.08.2014, 14:26

merri778

Vektorfeld überprüfung (konservativ/Skalarpotential)

Hallo,

gegeben ist folgende Aufgabe:
Es bezeichne für ein $\begin{eqnarray*} \vec{r}\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wie üblich r := | $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ |. Damit sei das folgende Vektorfeld
F : $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3\Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
F( $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ ):=r²* $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Berechnen sie rot( $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ ). Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ konservativ ist und bestimmen sie gegebenenfalls ein Skalarpotential.

Ich stehe grade leicht auf dem Schlauch an 2 Stellen ein mal bei dem F( $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ ):=r²* $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ da wir sinst immer nur mit schon gegebenen Vektoren gearbeitet haben und irgendwie bekomme ich das Skalarpotential (auch bei anderen Aufgaben) nicht richtig hin.

27.08.2014, 20:22

Mulder

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RE: Vektorfeld überprüfung (konservativ/Skalarpotential)
Was meinst du mit "schon gegebenen" Vektoren? Du kannst dir das $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ ja wohl als Vektor mit Komponenten ausschreiben, wenn du das meintest.

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \, , \, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto (x^2+y^2+z^2) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sieht deine Abbildung aus. Da kannst du dir ja mal anschauen, wie die Rotation ausschaut.

27.08.2014, 20:46

MartinLol

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Mulder hat ja bereits das Vektorfeld genannt mit welchem gerechnet werden soll, davon berechnest du jetzt einfach die Rotation. Konservativ ist das Vektorfeld wenn die Rotation verschwindet (Nullvektor als Ergebnis).

Wann ist nun ein Vektorfeld konservativ ? Es gilt, dass ein VF konservativ ist, wenn die rotation verschwindet und auch nur dann! existiert ein Potentialfeld (Potential,Skalarpotential/Nenn es wie du willst) ...

Das berechnest du indem du das von dir genannte Vektorfeld komponenterweise integrierst (Erste Komponente nach x, zweite nach y, dritte nach z)... Die jweiligen Konstanten, die bei der integration aufkommen, nennst du dann c(x),c(y),c(z)....

Nun vergleichst du alle Stammfunktionen und musst die konstanten so bestimmen, das alle Stammfunktionen gleich sind. Diese Funktion ist dann dein Skalarpotential <->

27.08.2014, 21:11

index_razor

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RE: Vektorfeld überprüfung (konservativ/Skalarpotential)
Den anderen Antworten habe ich nicht mehr viel hinzuzufügen. Aber, wenn du einmal gezeigt hast, daß die Rotation verschwindet, erhältst du ein Potential, indem du F von einem beliebigen Punkt aus entlang eines beliebigen Weges integrierst. Der Weg muß nicht unbedingt entlang der Achsen verlaufen. Da das gegebene Vektorfeld radialsymmetrisch ist, empfehlen sich vom Nullpunkt ausgehende Strahlen. Dann erhältst Du nämlich
$\begin{eqnarray*} \vec{F}\cdot\dd\vec{r}=r^2\vec{r}\cdot\dd\vec r = \frac{1}{2}r^2\dd(r^2) \end{eqnarray*}$
Das liefert dir sofort dein Ergebnis.

27.08.2014, 21:20

Jayk

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Zitat:

Original von MartinLol
Mulder hat ja bereits das Vektorfeld genannt mit welchem gerechnet werden soll, davon berechnest du jetzt einfach die Rotation. Konservativ ist das Vektorfeld wenn die Rotation verschwindet (Nullvektor als Ergebnis).

Wann ist nun ein Vektorfeld konservativ ? Es gilt, dass ein VF konservativ ist, wenn die rotation verschwindet und auch nur dann! existiert ein Potentialfeld (Potential,Skalarpotential/Nenn es wie du willst

Das gilt, wenn das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \mathcal C^1 \end{eqnarray*}$ ist.

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