Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination

27.08.2014, 16:51

Yasiiii

Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination

Meine Frage:
Kann mir einer einen Beweis geben, weshalb sich ein Eckpunkt eines Polyeders nicht als konvexe Linearkombination zweier anderer Punkte darstellen lässt?

Meine Ideen:
Anschaulich ist es mir, denke ich, klar, warum das so ist, nur könnte ich das nicht mathematisch korrekt aufschreiben und deswegen bitte ich um Hilfe.

28.08.2014, 11:31

Math1986

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RE: Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination
Hallo,
Wie genau ist denn ein Eckpunkt definiert? Nimm einfach mal an dass es zwei solcher Punkte gäbe, so dass x eine nicht-triviale Konvexkombination wäre. Was könntest du daraus folgern?

28.08.2014, 14:40

Yasiiii

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RE: Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination
Also wenn wir x so darstellen könnten $\begin{eqnarray*} x=\lambda a + (1-\lambda)b \end{eqnarray*}$ , dann würde doch rein theoretisch daraus folgen, dass a=b=x ist oder?

28.08.2014, 15:12

Math1986

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RE: Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination

Zitat:

Original von Yasiiii
Also wenn wir x so darstellen könnten $\begin{eqnarray*} x=\lambda a + (1-\lambda)b \end{eqnarray*}$ , dann würde doch rein theoretisch daraus folgen, dass a=b=x ist oder?

Ja, genau das sollst du ja zeigen. Warum würde das folgen?

Meine Frage, wie genau denn nun ein Eckpunkt definiert ist, beantwortet dies leider nicht.

28.08.2014, 15:23

Yasiiii

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RE: Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination
Also ein Eckpunkt ist eine 0-dimensionale Seitenfläche.

Ein Eckpunkt ist ja anschaulich gesprochen kein innerer Punkt einer Strecke von einer konvexen Menge, also können ja a und b nur gleich x sein. Ich weiß auch, dass dies keine richtige mathematische Begründung ist, aber irgendwie kann ich's grad nicht anders erklären -.-

28.08.2014, 15:54

Math1986

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RE: Eckpunkt keine Darstellung als konvexe Linearkombination

Zitat:

Original von Yasiiii
Also ein Eckpunkt ist eine 0-dimensionale Seitenfläche.

Richtig, und eine Seitenfläche ist genau dann 0-dimensional wenn sie einelementig ist. Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R^n,c\neq 0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ das eindeutige Optimum von $\begin{eqnarray*} \max_{x\in P}c^T\cdot x \end{eqnarray*}$ ist.

Nimm nun eine Konvexkombination $\begin{eqnarray*} x=\lambda a + (1-\lambda)b \end{eqnarray*}$ , berechne $\begin{eqnarray*} c^T\cdot x \end{eqnarray*}$ und zeige, dass so $\begin{eqnarray*} a=b=x \end{eqnarray*}$ folgen muss.

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