Aufgabe zum Tensorprodukt

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28.08.2014, 15:08	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Tensorprodukt Hallo Leute, ich habe hier eine Aufgabe mit einer Teillösung. Könnte mir jemand erklären wie man darauf kommt was $\begin{eqnarray} v_1 \otimes w_1 \end{eqnarray}$ ist, ich versteh es einfach nicht. Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\3 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2 = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0\\2 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1 = \left(\begin{array}{c} 1\\-2 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = \left(\begin{array}{c} -2\\2 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray}$ Berechnen Sie $\begin{eqnarray} v_1\otimes w_1 +v_2\otimes w_2 \in \mathbb{R}^3 \otimes \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Teillösung: Wir bezeichnen die Standardbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (b_1, b_2, b_3)<br /> \end{eqnarray}$ und die von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (c_1, c_2) \end{eqnarray}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray} v_1 = 1b_1+2b_2+3b_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1 = 1c_1+(-1)c_2 \end{eqnarray}$ damit ergibt sich $\begin{eqnarray} v_1 \otimes w_1 = 1(b_1 \otimes c_1) + (-1)(b_1 \otimes c_2)+2(b_2 \otimes c_1)+(-2)(b_2 \otimes c_1)+3(b_3 \otimes c_1)+(-3)(b_3 \otimes c_1) \end{eqnarray}$
28.08.2014, 15:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Basis des Tensorprodukt ist ja durch die $\begin{align} b_i \otimes c_j \end{align}$ gegeben. Jetzt musst du einfach nur noch die Rechenregeln für das Tensorprodukt benutzen, um das Element $\begin{align} v_1 \otimes w_1 \end{align}$ in dieser Basis auszudrücken. Und wie ich sehe, hast du das ja schon richtig gemacht.
28.08.2014, 15:46	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast da etwas falsch verstanden die Lösung stammt nicht von mir. Ich möchte sie gerne verstehen, könntest du mir das etwas genauer erläutern wie diese Darstellung zustandekommt.
28.08.2014, 15:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst nur die Distributivität des Tensorproduktes (D.h. du kannst die Klammern einfach ausmultiplizieren) und dann noch $\begin{align} a(v \otimes w) = (av) \otimes w = v \otimes (aw) \end{align}$ , d.h. du kannst alle Skalare vor das Tensorprodukt ziehen.
28.08.2014, 16:48	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher ob du mich richtig verstehst. ich möchte gerne verstehen warum diese Gleichung gerade so auszusehen hat. Warum ist der erste Summand $\begin{eqnarray} 1(b_1 \otimes c_1) \end{eqnarray}$ und warum ist der zweite Summand $\begin{eqnarray} -1(b_1 \otimes c_2) \end{eqnarray}$ . Die 1 stammt warhscheinlich vom Vektor $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ , aber wie kommt man auf das Tensorprodukt in der Klammer und wo kommt die -1 her? $\begin{eqnarray} v_1 \otimes w_1 = 1(b_1 \otimes c_1) + (-1)(b_1 \otimes c_2)+2(b_2 \otimes c_1)+(-2)(b_2 \otimes c_1)+3(b_3 \otimes c_1)+(-3)(b_3 \otimes c_1) \end{eqnarray}$
28.08.2014, 16:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich doch eben geschrieben. Für v_1 und w_1 wurden die entsprechenden Ausrücke eingesetzt und dann wurde entsprechend den Rechenregeln, die ich im letzten Post zitiert habe, umgeformt. Viel mehr kann ich dir hier im Hochschulforum erstmal nicht anbieten.
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28.08.2014, 17:11	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wird mir schon einiges mehr klar. Aber wenn ich das ausmulipliziere komme ich auf $\begin{eqnarray} (1b_1+2b_2+3b_3) \otimes (1c_1+(-1)c_2) = 1(b_1 \otimes c_1) + (-1)(b_1 \otimes c_2)+2(b_2 \otimes c_1)+(-2)(b_2 \otimes c_2)+3(b_3 \otimes c_1)+(-3)(b_3 \otimes c_2) \end{eqnarray}$ Das ist nicht die Gleichung die in der Lösung steht. Wo ist der Fehler?
30.08.2014, 15:18	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
push
30.08.2014, 16:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist (bis auf den offensichtlichen Tippfehler) doch exakt die Lösung, die dir auch vorgegeben ist. Also alles gut.
30.08.2014, 16:52	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß nicht wo die offensichtlichen Tippfehler sein sollen. Ich habe das jetzt ganz normal ausmultipliziert, wie man es bei folgendem machen würde (a+b+c)(e+f)
30.08.2014, 17:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tippfehler sind in der vorgegebenen Lösung. Und zwar natürlich genau da, wo sie von deiner abweicht.

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