Produktregel beweisen

28.08.2014, 17:54

moclus

Produktregel beweisen

Ich versuche gerade den Beweis der Produktregel nachzuvollziehen.

Ich habs mir mal auf Wikipedia angeschaut, da ist alles recht gut erklärt. Den letzten Schritt aber versteh ich nicht:

http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ unendlich klein werden lasse, so drück ich dies doch mithilfe von Differentialen aus. Wieso fällt dann der letzte Summand weg aber die vorherigen nicht?

$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0} \left(u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x} + v \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} + \underbrace{\Delta u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x} }_{=0} \right) \end{eqnarray*}$

Verstehe das nicht ..

28.08.2014, 19:02

index_razor

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RE: Produktregel beweisen
Der letzte Term geht gegen null weil $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ im Grenzübergang endlich bleibt (wegen der Differenzierbarkeit von v) und weil $\begin{eqnarray*} \Delta u\to 0 \end{eqnarray*}$ (wegen der Stetigkeit von u). Ihr Produkt geht also gegen null.

(Die anderen Terme können natürlich auch wegfallen, wenn die Ableitung der einen oder der Funktionswert der anderen Funktion an der betrachteten Stelle null ist.)

29.08.2014, 02:15

moclus

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Wie meinst du das mit endlich?
$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich doch nicht vom 1. Term verwirrt

29.08.2014, 07:40

index_razor

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Zitat:

Original von moclus
Wie meinst du das mit endlich?
$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich doch nicht vom 1. Term verwirrt

Ich meine damit nur, daß der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x} \end{eqnarray*}$
existiert. Er ergibt ja genau die Ableitung von v an der Stelle x (Bezeichnung wie im Wikipedia- Artikel). Also mit anderen Worten, es gibt eine Zahl, sagen wir a, so daß
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x} = a. \end{eqnarray*}$
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0 } \Delta u = 0. \end{eqnarray*}$ . Letzteres folgt, wie gesagt, weil u notwendigerweise stetig ist. Jetzt ist der Grenzwert des Produkts dieser beiden Funktionen aber gleich dem Produkt des Grenzwertes also
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0}\Delta u\cdot\frac{\Delta v}{\Delta x} = 0\cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

(Übrigens kannst du natürlich auch die Rolle von u und v in dem Argument vertauschen)

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