Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen

28.08.2014, 23:14

yes_

Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen

Hey Community,

Ich bearbeite gerade Reihen und kommt eigentlich ganz gut damit zurecht, nur mit einen besonderen Typ von Reihen komme ich noch nicht ganz klar.

Probleme machen mir besonders Reihen dieser Form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} \end{eqnarray*}$ (1)

insbesondere weil da + und - dastehen. Die Reihe hier

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 + 4n +3} \end{eqnarray*}$ (2)

kann ich abschätzen. Das überleg ich mir immer dazu: Ich schaue mir zunächst die 2 höchsten Potenzen an um einzuschätzen ob ich auf Minorantenkriterium oder Majorantenkriterium gehen soll. Hier ist es $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ also versuche ich das Majorantenkriterium.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 + 4n +3} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 + 4n} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n^2 + 5n^2}{3n^4} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{7n^2}{3n^4} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Die konvergente harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist Majorante zur Reihe (2) und somit ist Reihe (2) konvergent.

Versuch ich das aber mit der Reihe (1) komme ich nicht weiter. Also fang ich mal an, zuerst wieder die selbe Überlegung wie oben, also mit dem Majorantenkriterium versuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{7n^2}{3n^4 - 4n} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{7}{3n^2 - \frac{4}{n}} \leq ... \leq \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Bei diesem ... hängts, schmeiß ich einfach die $\begin{eqnarray*} - \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ raus, so wird der Bruch wieder kleiner als der vorherige.

Meine Fragen sind nun:
1) Ist das ok so mit dem "größte Potenzen anschauen" um abzuwägen ob man eine Minorante oder Majorante suchen soll ? Wenn nicht, kann man das andersweitig irgendwie abwägen?

2) Was kann ich in diese ... einsetzen damit das am Ende aufgeht? Oder bin ich auf dem Holzweg?

3) Ein paar generelle Tipps die das Abschätzen erleichter? Vorallem gehts mir um die Reihe wo man Quotientenkriterium nicht anwenden kann, insbesondere um Reihen wie die (1) wo + und - vorkommen und um Reihen mit Wurzeln, die man ebenfalls nicht mit dem Quotientenkriterium lösen kann.

Vielen Dank smile

28.08.2014, 23:36

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst aufpassen, dass die Abschätzungen die du vornimmst nicht ab n=0 gelten.
Außerdem ist die Reihe die du erhältst für n=0 nicht definiert. Du erhältst eine Null im Nenner.

Ich würde den ersten Summand der Reihe explizit berechnen und dann die Reihe mit dem Startindex n=1 betrachten. Dann kannst du deine Abschätzungen ohne Probleme durchführen.

Wenn du zeigst, dass (1) konvergiert, dann weißt du auch, dass (2) konvergiert.
Warum?

(Edit: Der Beitrag bezieht sich erstmal nur auf deine erste Rechnung. Und wenn du (1) richtig machst kannst du dir (2) eigentlich sparen.)

29.08.2014, 00:34

yes_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash
Wenn du zeigst, dass (1) konvergiert, dann weißt du auch, dass (2) konvergiert.
Warum?

Da (1) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ (2), somit ist (1) Majorante zu (2) und demnach konvergiert (2).

Upps, da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, die harmonische Reihe muss natürlich korrekterweise $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ lauten. Ups

Dan sieht das ganze so aus:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{7n^2}{3n^4 - 4n} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{7}{3n^2 - \frac{4}{n}} \leq ... \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Ah momentmal, bin ich bescheuert, es gilt ja $\begin{eqnarray*} 3n^2 - \frac{4}{n} \geq n^2 \end{eqnarray*}$ , dann brauch ich ja auch nichts zu suchen was in die ... gehört und kann einfach schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{7}{3n^2 - \frac{4}{n}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und somit wäre die Reihe konvergent. Hammer

Danke dir Gmasterflash Wink

29.08.2014, 09:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Die harmonische Reihe muss korrekterweise

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

lauten, und ist divergent.

Deine Abschätzung ist zu schwach, außerdem vergisst du hier den Summanden wieder.

$\begin{eqnarray*} 3n^2-\frac{4}{n}\geq n^2 \end{eqnarray*}$

gilt erst n>1 für n=1 hättest du ja

$\begin{eqnarray*} -1\geq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist sicherlich falsch.

Du solltest die Reihe also für den Startindex n=2 betrachten und im Nenner eine andere Abschätzung wählen.

Schätze -4n nach unten durch etwas "hoch 4" ab.

Richtig, (1) wäre eine Majorante zu (2) daher kannst du für (2) später (1) als Abschätzung verwenden und bist direkt fertig.

29.08.2014, 12:28

yes_

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich meinte mit harmonische Reihe die allgemeine harmonische Reihe mit a > 1.

Also hier noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{31}{6} + \sum_{n=2}^\infty \frac{n^2 + n + 5}{3n^4 - 4n +3} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{31}{6} + \sum_{n=2}^\infty \frac{7n^2}{3n^4 - 4n} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{31}{6} + \sum_{n=2}^\infty \frac{7n^2}{3n^4 - n^4} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{31}{6} + \sum_{n=2}^\infty \frac{7n^2}{2n^4} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{31 * 7}{12} + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{31 * 7}{12} + \end{eqnarray*}$ verändert das Konvergenzverhalten der Reihe genauso wenig wie der gewählte Startindex. Diese Reihe ist nach dem Majorantenktriterium konvergent, da die konvergente Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ eine Majorante zu ihr bildet. Reicht das als Begründung?

29.08.2014, 12:35

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch wenn dieser Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{31}6+\sum_{n=2}^\infty \frac{7n²}{2n^4}=\frac{31}6+\frac{7}{2}\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$

Ja schon ausreicht. Du missachtest hier die Rechengesetze ein wenig. Wahrscheinlich aus Flüchtigkeit.
Du kannst natürlich nicht nun

$\begin{eqnarray*} \frac{31}{6}\cdot \frac72 \end{eqnarray*}$

rechnen.

29.08.2014, 12:39

yes_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja selbstverständlich, ich sollte besser aufpassen wenn ich rechne Hammer

Naja Hauptsache jetzt hab ichs, ich muss versuchen das immer so abzuschätzen das im Nenner die selben Potenzen stehen und ich dann einfach Subtrahieren kann.

Merci nochmals smile

29.08.2014, 12:43

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehn.

Tatsächlich kannst du den ursprünglichen Reihenwert nun ziemlich genau einschätzen, wenn du weißt, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n²}=\frac{\pi²}{6} \end{eqnarray*}$

Die Reihenwerte unterscheiden sich irgendwie nur um 0,05 irgendwas.
Hab aber gerade keinen Taschenrechner zur Hand, hatte es nur gestern abend einmal berechnet.

31.08.2014, 16:22

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen

Zitat:

Original von yes_
1) Ist das ok so mit dem "größte Potenzen anschauen" um abzuwägen ob man eine Minorante oder Majorante suchen soll ?

Genau, größte Potenzen im Zähler und Nenner anschauen, da die letztendlich dominieren. Die kleineren Potenzen lassen sich immer irgendwann vernachlässigen. Reihen können ja nur deswegen divergieren, weil man eine unendliche Zahl von Summanden hat. Man kann also jede endliche Zahl vernachlässigen, egal wie groß die Summanden sind.

Sei im Folgenden $\begin{eqnarray*} a_k > 0 \end{eqnarray*}$ , das vereinfacht die Argumentation. Die anderen $\begin{eqnarray*} a_i ,i\not=k \end{eqnarray*}$ können beliebig negativ oder positiv sein. Es gibt immer ein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists x_1\in \mathbb R \forall x >x_1: a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k-2}x^{k-2}+\cdots= a_k x^k (1+\frac{a_{k-1}}{a_k x}+\frac{a_{k-2}}{a_k x^2}+\cdots) >\frac{a_k}{2}x^k, a_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

da es immer ein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} \forall x>x_1: 1+\frac{a_{k-1}}{a_k x}+\frac{a_{k-2}}{a_k x^2}+\cdots >\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Und es gibt ein $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} \exists x_2\in \mathbb R \forall x >x_1: a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k-2}x^{k-2}+\cdots= a_k x^k (1+\frac{a_{k-1}}{a_k x}+\frac{a_{k-2}}{a_k x^2}+\cdots) <2 a_k x^k, a_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

da es immer ein $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass
$\begin{eqnarray*} \forall x>x_2: 1+\frac{a_{k-1}}{a_k x}+\frac{a_{k-2}}{a_k x^2}+\cdots < 2 \end{eqnarray*}$

Je nachdem ob die Reihe vermutlich divergiert oder konvergiert (was von den höchsten Potenzen in Zähler und Nenner abhängt), kann man die entsprechende Abschätzung wählen, um das Minoranten- oder das Majorantenkriterium anzuwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen

Verwandte Themen