Erklärung Beschränktheit einer Folge

28.08.2014, 23:31

Pattty

Erklärung Beschränktheit einer Folge

Meine Frage:
Guten Tag,
Aufgrund einer langen Krankheit habe ich die ersten Vorlesungen / Übungen verpasst und bin nun am nachlernen.

Ich hänge nun an "Folgen" fest. Ich habe verstanden was monotonie ist, wie ich auf Konvergenz / Divergenz prüfen kann und den Grenzwert bestimme, nur fehlt mir für all das, direkt am Anfang die Bestimmung der Beschränktheit einer Folge.

Eine Beispielaufgabe zu welcher ich die Lösungen habe ist im Anhang.

Meine Ideen:
Die untere Grenze ist 0, dies würde ich damit begründen, dass kein negativer Wert unter einer Wurzel stehen darf.

Die obere Grenze ist laut den Lösungen 3, leider verstehe ich nicht wie man auf diesen Wert kommt. Unser Prof nimmt einfache Werte für die Beschränktheit, da dort nicht der Fokus ist, so hat er wohl gesagt das man durch ausprobieren relativ schnell die Beschränktheit findet.

Ich habe mir jetzt einige YouTube tutorials angeschaut und bei einigen Aufgaben bin ich so auch auf die Beschränktheit gekommen, in meinem Beispiel habe ich ein Problem. Setze ich überhaupt korrekt Werte ein?

$\begin{eqnarray*} a_{1} = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = \sqrt{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} = \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{4} = \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}}} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich doch einen Fehler machen, da wenn die obere Grenze 3 sein soll, so müsste $\begin{eqnarray*} a_{4} < a_{3} \end{eqnarray*}$ sein oder?

Ich habe hier irgendwo einen sehr groben Denkfehler der bestimmt peinlich ist, dennoch habe ich jetzt soviel Zeit hier investiert das ich jetzt lieber anonym Fragen möchte und hoffe mir kann jemand weiterhelfen :/

Ich bedanke mich im Voraus.

28.08.2014, 23:48

Helferlein

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Mit obere Grenze 3 ist $\begin{align*} a_n<3~\forall n\in\mathbb{N} \end{align*}$ gemeint und nicht, dass der größte Wert bei n=3 angenommen wird.

28.08.2014, 23:52

wogir

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RE: Erklärung Beschränktheit einer Folge

Zitat:

Original von Pattty
Meine Frage:
Guten Tag,
Aufgrund einer langen Krankheit habe ich die ersten Vorlesungen / Übungen verpasst und bin nun am nachlernen.

Ich hänge nun an "Folgen" fest. Ich habe verstanden was monotonie ist, wie ich auf Konvergenz / Divergenz prüfen kann und den Grenzwert bestimme, nur fehlt mir für all das, direkt am Anfang die Bestimmung der Beschränktheit einer Folge.

Eine Beispielaufgabe zu welcher ich die Lösungen habe ist im Anhang.

Meine Ideen:
Die untere Grenze ist 0, dies würde ich damit begründen, dass kein negativer Wert unter einer Wurzel stehen darf.

Die obere Grenze ist laut den Lösungen 3, leider verstehe ich nicht wie man auf diesen Wert kommt. Unser Prof nimmt einfache Werte für die Beschränktheit, da dort nicht der Fokus ist, so hat er wohl gesagt das man durch ausprobieren relativ schnell die Beschränktheit findet.

Ich habe mir jetzt einige YouTube tutorials angeschaut und bei einigen Aufgaben bin ich so auch auf die Beschränktheit gekommen, in meinem Beispiel habe ich ein Problem. Setze ich überhaupt korrekt Werte ein?

$\begin{eqnarray*} a_{1} = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = \sqrt{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} = \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{4} = \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}}} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich doch einen Fehler machen, da wenn die obere Grenze 3 sein soll, so müsste $\begin{eqnarray*} a_{4} < a_{3} \end{eqnarray*}$ sein oder?

Ne, $\begin{eqnarray*} a_{4} <3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_{n} <3 \end{eqnarray*}$ . Kannst du z.B. per Induktion zeigen.

(edit: ups, war zu langsam)

29.08.2014, 00:02

Pattty

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Danke das hilft schonmal ungemein, ist meine Begründung für die untere Grenze 0 denn richtig?

Und zur oberen Grenze, durch einsetzen sehe ich ja das die Werte langsam Richtung 3 gehen, also kann man damit auf die < 3 schließen und da es eine natürliche Zahl sein muss nimmt man die 3 :P

Viele dank euch beiden :-)

In der Aufgabe wurde leider kein Grenzwert errechnet, aber da es monoton steigend und beschränkt ist (somit konvergent) müsste der Grenzwert errechenbar sein.

Als Grenzwert habe ich 2.79128... raus, kann dies hinkommen?

Gerechnet habe ich:

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{5+a} \end{eqnarray*}$

Umgeformt für die PQ-Formel:
$\begin{eqnarray*} 0 = a^{2} -a -5 \end{eqnarray*}$

Und somit 2.79128 und ein negativer Wert welcher nicht sein kann aufgrund der Beschränktheit.

29.08.2014, 00:57

Helferlein

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Der Grenzwert ist $\begin{align*} \frac{1+\sqrt{21}}{2} \end{align*}$ was in dezimal deinem Wert entspricht.

Die Begründung mit der 0 ist leider nicht in Ordnung, denn Du beziehst Dich auf die Definitionsmenge, nicht aber die Wertemenge.
Eine genauere Betrachtung zeigt, dass 0 zwar eine untere Schranke, nicht aber das Minimum ist. Aufgrund der Monotonie ist $\begin{align*} a_1=\sqrt{5} \end{align*}$ der kleinste Wert, den die Folgeglieder annehmen können.

29.08.2014, 01:07

Pattty

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Ersteinmal wieder danke, ihr seid einfach super und glaubt garnicht wie sehr ihr mir helft smile

Meine "Musterlösungen" besagen das
$\begin{eqnarray*} <a_{n}> \end{eqnarray*}$
beschränkt ist mit:
$\begin{eqnarray*} 0 < a_{n} < 3 \end{eqnarray*}$

Ist dies dann dennoch korrekt? Oder müsste ich statt der 0 eine 2 schreiben, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ das Minimum ist und somit kein Wert unter 2 existieren kann.

29.08.2014, 16:41

Helferlein

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Natürlich ist das korrekt, oder kannst Du ein n angeben für das $\begin{align*} a_n\leq 0 \end{align*}$ ?
Genauso richtig wäre es $\begin{align*} -1<a_n<3 \end{align*}$ oder $\begin{align*} -10<a_n<5 \end{align*}$ zu behaupten. Jede untere und obere Schranke kann für die Behauptung genutzt werden, es geht ja nur darum eine Beschränkung zu finden (die man dann natürlich auch begründen können sollte).

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