Frage zu zyklischen Gruppen

29.08.2014, 03:06

leoclid

Frage zu zyklischen Gruppen

Hallo, ich soll folgendes Zeigen:

Sei G eine Gruppe, und sei die Mächtigkeit von G eine Primzahl: Zeige G ist zyklisch.

Hier meine Ideen

Wir zeigen, dass die Gruppe keine Untergruppe außer die des Neutralen Elements und der Gruppe selbst hat. Denn hätte sie eine Untergruppe, so würde gelten:

Die Mächtigkeitszeichen habe ich weggelassen:

G = (G/U) * U. Da U eine Untergruppe ist, die nicht nur das Neutrale Element enthält, ist die Mächtigkeit von U größer als 1 und kleiner als die Mächtigkeit von G. Damit hätte die Mächtigkeit von G einen nichttrivalen Teiler, was im Widerspruch zur Tatsache steht, das die Mächtigkeit von G eine Primzahl ist.

Aus der Tatsache, dass die Gruppe keine nichttriviale Untegruppe hat, folgt

G ist zyklisch.

Mir scheint alles korrekt.
Habe ich einen Fehler gemacht??

29.08.2014, 09:00

Che Netzer

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RE: Frage zu zyklischen Gruppen

Zitat:

Original von leoclid
Die Mächtigkeitszeichen habe ich weggelassen:

Die sind aber natürlich wichtig.

Zitat:

G = (G/U) * U. Da U eine Untergruppe ist, die nicht nur das Neutrale Element enthält, ist die Mächtigkeit von U größer als 1 und kleiner als die Mächtigkeit von G.

Die Ordnung von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ muss in dem Fall nicht echt kleiner als die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sein. Wenn du aber ausschließt, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine der beiden Untergruppen $\begin{eqnarray*} \{e\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, ist das doch wieder richtig.

Zitat:

Aus der Tatsache, dass die Gruppe keine nichttriviale Untegruppe hat, folgt

G ist zyklisch.

Falls ihr das nicht schon früher bewiesen habt, sollte man diesen Schritt noch erläutern.

Die Idee ist aber gut.

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