Richtungsvektor der Asymptote einer Hyperbel

30.08.2014, 02:58	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsvektor der Asymptote einer Hyperbel Meine Frage: Hallo! Mal wieder steh ich auf der Leitung bei der Vorbereitung auf eine Klausur. Leider haben meine Recherchen in meinen Unterlagen und auch dem I-Net mich nicht weiter gebracht. Die Aufgabe: In der Euklidischen Ebene betrachten wir den Kegelschnitt K: 5x-xy+2y=7 a) Begründen Sie, wieso es sich bei K um eine Hyperbel handelt. b) Bestimmen sie zu jeder Symmetrieachse von K einen Richtungsvektor. c) Bestimmen Sie zu jeder Asypmtote von K einen Richtungsvektor. d) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Symmetrieachsen von K. e) Leiten sie aus den vorrangegangenen Aufgabenteilen die Gleichung der Euklidischen Normalenform von K ab. Meine Ideen: Zu a) Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & -0,5 \\ -0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufstellen. Eigenwerte bestimmen (+/- 0,5) --> indefinite Matrix --> Hyperbel Zu b) Eigenvektoren bestimmen: $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus eine Drehmatrix: $\begin{eqnarray} D=\frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die wiederum auf die Richtungsvektoren der Achsen angewendet wird. Bis hierhin alles kein Problem. Bei c) hänge ich dann. Was Richtungsvektoren sind und Asymptoten ist mir klar. Wenn die Reihenfolge der Aufgabenteile nicht so gewählt worden wäre, würde ich die Normalform $\begin{eqnarray} \frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1 \end{eqnarray}$ bestimmen und dann über $\begin{eqnarray} y=\pm \frac{b}{a} x \end{eqnarray}$ die Asymptote berechnen und diese einfach mit der inversen Drehmatrix $\begin{eqnarray} D^{-1} \end{eqnarray*}$ zurückdrehen. Logischerweise auch entsprechend der Verschiebung (quadratische Ergänzung etc.) verschieben. Aber ich nehme mal an, dass ist anderes gedacht. zu d) würde ich so vorgehen, dass ich die quadratische Ergänzung mache, die Verschiebung bestimme und den Ursprung dann entsprechend "rückverschiebe". zu e) dann halt alles zusammenfassen und fertig machen, bis die Euklidische Normalform da ist. Das ist wieder kein Problem. Es wäre nett, wenn ihr eure Ideen zu meinen Problemen äußern könntet. Ich danke euch schon mal im Vorraus.
30.08.2014, 04:12	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, die Euklidische Normalform ist übrigens: $\begin{eqnarray} \frac{x²}{6}-\frac{y²}{6}=1 \end{eqnarray}$
30.08.2014, 10:16	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mußt du da überhaupt etwas rechnen. du sollst doch nur jeweilige Richtungsvektoren angeben und die folgen doch hier direkt aus der "Symmetrie" von Achsen und Asymptoten
30.08.2014, 23:36	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Werner, Kann sein, dass die Lösung wirklich so einfach ist, dass ich das einfach nur folgern muss. Aber auch da stehe ich auf der Leitung. Kannst du das mit der Symmetrie etwas weiter ausführen? Wäre sehr nett von dir. Danke, clarinet
31.08.2014, 08:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mein Gedankengang wäre: 1) man sieht sofort (?), dass es sich wegen der Symmetrie von x und y um eine symmetrische Hyperbel - dass eine vorliegt, hast du ja gezeigt - handelt, die um 45° gedreht ist. daher sind die Symmetrieachsen in Hauptlege die x- bzw. die y-achse und die Gleichung der Asymptoten lauten $\begin{eqnarray} y\pm x \end{eqnarray}$ diese bilden einen winkel von 45° mit den Achsen 2) daraus folgt für die Richtungsvektoren - nur die sind ja gefragt - nach einer drehung um 45° .... ok
01.09.2014, 21:28	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Werner, jetzt habe ich es verstanden. Konnte mich auch heute erst wieder genauer damit auseinandersetzen, weil ich am WE arbeiten mußte. Danke für die Hilfe.
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