Ist (1+2i)^100 reell?

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yuppie Auf diesen Beitrag antworten »
Ist (1+2i)^100 reell?
Meine Frage:
Hallo, mir fällt es schwer ohne zu hilfenahme eines taschenrechners die aussage: (1+2i)^100 ist reell zu wiederlegen. Würde mich über eure hilfe freuen. Vielen dank smile



Meine Ideen:
Da der radius der polardarstellung sqrt(5) ist, lässt sich nicht auf anhieb ein phi bestimmen welches jedoch meiner meinung nach benötigt wird um eine aussage zu treffen.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso nicht?

Jede komplexe Zahl hat eine einduetige Darstellung in Polarkoord. Bestimme diese und dann kannst du die Aufgabe mittels Potenzgesetzen lösen.
yuppie Auf diesen Beitrag antworten »

Berechnen würde ich phi in diesem fall über arctan( x/y). Jedoch ist das ohne taschenrechner nicht möglich... in formelsammlungen findet man aber immer nur wenige werte um ein exaktes phi zu bestimmen. Bspw. 1/sqrt(2) für phi = pi/4. Kann ich also mit dem radius (sqrt(5)) nicht ablesen...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Nebenbemerkung: Der Radius ist hier übrigens vollkommen irrelevant.

(Und damit bin ich hier wieder raus)
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Direktes Ausmultiplizieren zeigt, dass der Imaginärteil für kein naürliches n (ohne die Null) veschwindet, weil die Binomialkoeffizienten immer größer Null sind.
yuppie Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie beweise ich so etwa mathematisch korrekt? Bislang haben wir das immer über die Polardarstellung gemacht und geschaut ob sich mit hilfe der eulerschen funktion der e^(phi*i) teil zu 1 bzw. -1aufhebt... habe es schon mit der vollständigen induktion probiert aber das gelingt nicht Augenzwinkern
 
 
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ausmultipliziert bekommt man zum einen reelle Summanden mit positivem oder negativem (wegen i²) Vorzeichen und zum anderen imaginäre Summanden. Die imaginären Summanden sind grundsätzlich von der Form B*(2i)^(2k+1) = B*i*2^(2k+1) mit k=0,1,2,... und B: Binomialkoeffizient.

Im Imaginärteil werden also nur Potenzen von zwei multipliziert mit einem (positiven) Binomialkoeffizienten B aufaddiert. Diese Summe kann nicht gleich Null sein, weil sämtliche Summanden größer Null sind.

EDIT: Vielleicht ist dieser Beweis nicht besonders elegant, aber er beruht auch nur auf der Annahme, dass die Addition zweier reeller, positiver Zahlen ungleich Null immer eine positive, reelle Zahl ungleich Null ergibt.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bernhard1
Diese Summe kann nicht gleich Null sein, weil sämtliche Summanden größer Null sind.

Kompletter Nonsense. Sorry.
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