Taylorpolynom Fehlerberechnung

30.08.2014, 14:03

Schwapps

Taylorpolynom Fehlerberechnung

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich gerade rechne. Die Aufgabe ist:
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von f(x)=ln(2-x) Entwicklungspunkt x0= 1.
(b) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus (a) eine Näherung von f(\frac{3}{2} ) und zeigen Sie, dass der Fehler der ?Näherung maximal \frac{1}{3} beträgt.

Meine Ideen:
Das Taylorpolynom habe ich schon ausgerechnet: Tn(x)= \frac{1}{2}x^{2} -2x+\frac{3}{2}
Daraus ergibt sich: T(\frac{3}{2} ) = -0,375
Durch den Taschenrechner weiß ich: f(\frac{3}{2} ) = -0,6932
Durch die Formel Rn(x) = f(x) - Tn(x) = -0,6932 - (-0.375) = -0.3182 weiß ich dass der Fehler kleiner als 1/3 ist. Allerdings ist es ja nicht Sinn der Berechnung, sie mit Taschenrechner durchzuführen, also muss ich den Fehler auch irgendwie durch das Restglied bestimmen können.
Rn(x)= (\frac{1}{3\times (2-xi)^{3} }) \times (x-1)^{3}
Wie schätze ich denn jetzt den maximalen Fehler ab, wenn ich gar kein Intervall gegeben habe, in dem ich ihn abschätzen soll?

30.08.2014, 14:58

Stephan Kulla

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung

Zitat:

Original von Schwapps
Wie schätze ich denn jetzt den maximalen Fehler ab, wenn ich gar kein Intervall gegeben habe, in dem ich ihn abschätzen soll?

Du kannst ja selbst ein Intervall wählen. Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} I=[0,\tfrac 32] \end{eqnarray*}$ . Ohne ich selbst gerechnet zu haben, sollte die Restgliedabschätzung ausreichen.

31.08.2014, 14:39

Schwaps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
Ok, Danke smile

Eine Frage noch: Setze ich für xi und für x dann jeweils eine Zahl aus dem Intervall ein, die das ganze am größten macht oder macht man das nur für xi? Und was macht man dann mit x?

31.08.2014, 14:52

Stephan Kulla

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
Welches $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ meinst du? Im Abschnitt in der Wikipedia kommt nämlich kein $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ vor.

31.08.2014, 19:10

Schwaps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
R2(x)= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3\times (2-xi)^{3} }) \times (x-1)^{3} \end{eqnarray*}$
Das ist das Restglied. xi ist die Ausprache des Zeichens ¾ aus der Restgliedabschätzung in Wikipedia.

31.08.2014, 19:13

Schwapps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
ach mist, das Zeichen wird nicht dargestellt. Google einfach mal das Zeichen xi

31.08.2014, 20:00

thk

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung

Zitat:

Original von Schwapps
Das Taylorpolynom habe ich schon ausgerechnet: $\begin{align*} Tn(x)= \frac{1}{2}x^{2} -2x+\frac{3}{2} \end{align*}$

Bevor du weiterrechnest...
Das ist nicht das gesuchte Taylorpolynom. T schmiegt sich nicht an $\begin{align*} \ln(2-x) \end{align*}$ an, sondern hat entgegengesetztes Krümmungsverhalten.

31.08.2014, 20:04

Schwapps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
Wie ist denn das richtige Taylorpolynom?

31.08.2014, 20:09

Schwapps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
Du liegst falsch. T(x) schmiegt sich recht gut in dem Intervall 0.5, 1.5 an. Guck dir mal den Graphen an. Das Taylorpolynom ist richtig.

31.08.2014, 20:22

Schwapps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
Hier ist meine Frage nochmal lesbar:

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich gerade rechne. Die Aufgabe ist:
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von f(x)=ln(2-x) Entwicklungspunkt x0= 1.
(b) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus (a) eine Näherung von f( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ) und zeigen Sie, dass der Fehler der Näherung maximal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ beträgt.

Meine Ideen:
Das Taylorpolynom habe ich schon ausgerechnet: Tn(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2} -2x+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich: T( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ) = -0,375
Durch den Taschenrechner weiß ich: f( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ) = -0,6932
Durch die Formel Rn(x) = f(x) - Tn(x) = -0,6932 - (-0.375) = -0.3182 weiß ich dass der Fehler kleiner als 1/3 ist. Allerdings ist es ja nicht Sinn der Berechnung, sie mit Taschenrechner durchzuführen, also muss ich den Fehler auch irgendwie durch das Restglied bestimmen können.
Rn(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\times (2-xi)^{3} } \times (x-1)^{3} \end{eqnarray*}$
Wie schätze ich denn jetzt den maximalen Fehler ab, wenn ich gar kein Intervall gegeben habe, in dem ich ihn abschätzen soll?

31.08.2014, 20:30

Schwapps

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung
@Stephan Kulla: Wenn ich die von dir verlinkte Restgliedabschätzung benutze, kann ich desweiteren das Intervall, das du vorschlägst, gar nicht benutzen, da ein Radius ausgehend vom Entwicklungspunkt gegeben sein muss. Zitat von Wikipedia: Liegt das Intervall (a-r,a+r) in I (der Definitionsbereich von f), kann man mit dem Restglied von Lagrange (siehe im Abschnitt Restgliedformeln) für alle x \in (a - r, a + r) und ein \xi zwischen a und x (und somit auch \xi \in (a - r, a + r)) folgende Abschätzung herleiten.

31.08.2014, 22:38

thk

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung

Zitat:

Original von Schwapps
Du liegst falsch. T(x) schmiegt sich recht gut in dem Intervall 0.5, 1.5 an..

Hab ich was missverstanden? Dann sorry. Aber $\begin{align*} {\color{#0080ff}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}} \end{align*}$ ist das Taylorpolynom zu ln(2-x) bei x0=1

01.09.2014, 00:48

Stephan Kulla

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung

Zitat:

Original von Schwapps
@Stephan Kulla: Wenn ich die von dir verlinkte Restgliedabschätzung benutze, kann ich desweiteren das Intervall, das du vorschlägst, gar nicht benutzen, da ein Radius ausgehend vom Entwicklungspunkt gegeben sein muss.

Sorry, hatte nen falschen Entwicklungspunkt im Kopf. Klar hast hier recht Augenzwinkern

Aber ist auch kein Problem, weil du r frei wählen kannst, zum Beispiel r=1/3.

01.09.2014, 00:53

Stephan Kulla

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RE: Taylorpolynom Fehlerberechnung

Zitat:

Original von Schwaps
R2(x)= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3\times (2-xi)^{3} }) \times (x-1)^{3} \end{eqnarray*}$
Das ist das Restglied. xi ist die Ausprache des Zeichens ¾ aus der Restgliedabschätzung in Wikipedia.

Okay, habe jetzt verstanden, was du meinst. Verwende die Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in (a-r,a+r) : |R_n f(x; a)| \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ definiert ist über $\begin{eqnarray*} |f^{(n+1)}(x)| \le M_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a-r,a+r) \end{eqnarray*}$ . Mit etwas Glück kommst du bei dieser Abschätzung auf das richtige Ergebnis. Augenzwinkern

Wenn nicht, dann muss eine bessere Abschätzung gefunden werden. Aber probiere erst einmal... Augenzwinkern

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