Taylorpolynom Fehlerberechnung

30.08.2014, 14:22	Schwapps	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom Fehlerberechnung Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich gerade rechne. Die Aufgabe ist: (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von f(x)=ln(2-x) Entwicklungspunkt x0= 1. (b) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus (a) eine Näherung von f( $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ ) und zeigen Sie, dass der Fehler der Näherung maximal $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ beträgt. Meine Ideen: Das Taylorpolynom habe ich schon ausgerechnet: Tn(x)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{2} -2x+\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich: T( $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ ) = -0,375 Durch den Taschenrechner weiß ich: f( $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ ) = -0,6932 Durch die Formel Rn(x) = f(x) - Tn(x) = -0,6932 - (-0.375) = -0.3182 weiß ich dass der Fehler kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ ist. Allerdings ist es ja nicht Sinn der Berechnung, sie mit Taschenrechner durchzuführen, also muss ich den Fehler auch irgendwie durch das Restglied bestimmen können. Rn(x)= $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3\times (2-xi)^{3} }) \times (x-1)^{3} \end{eqnarray}$ Wie schätze ich denn jetzt den maximalen Fehler ab, wenn ich gar kein Intervall gegeben habe, in dem ich ihn abschätzen soll?
01.09.2014, 22:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe deine Rechnung nicht überprüft. Scheint aber zu stimmen, denn ich komme auf die 1/3. Guck mal in meinen Workshop, da findest du die Antowrt: [Artikel] Taylorapproximation Dein $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ heißt bei mir $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ . Und das konkrete x musst du natürlich auch einsetzen, geht doch um x = 3/2.

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