Majoranten Minoranten Kriterium Verständnis

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Ck247 Auf diesen Beitrag antworten »
Majoranten Minoranten Kriterium Verständnis
Hallo Leute
ich habe Probleme beim Verständnis des Majoranten und Minoranten Kriteriums. Vorab: beide Kriterien, ihre Aussage und Anwendung sind mir bekannt.
ZB: Wir haben die Reihe
Summe k=1 bis unendlich von k/(k^2+2)
Nun sollen wir auf Divergenz/Konvergenz mit einem dieser Kriterien schließen (die vollständige Lösung ist mir bekannt -> abschätzen mit Hilfe der harmonischen Reihe -> divergent):
Welches Kriterium soll ich jetzt nehmen wenn ich so eine Reihe sehe? Kann man das irgendwo her erschließen? Hier nehmen wir ja das Minorantenkrit aber wieso wenn wir keine Vorahnung über das Verhalten der Reihe haben? Und wieso nicht das Majorantenkrit bzw was würde passieren wenn wir das nehmen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Je nachdem auf was du prüfen möchtest musst du das Kriterium wählen.
Wenn du zeigen möchtest, dass die Reihe divergiert, dann nimmst du das Minorantenkriterium. Dabei schätzt du nach unten gegen eine Reihe ab von der du weißt, dass sie divergiert. Denn wenn etwas was schon kleiner ist als deine Reihe keinen Grenzwert hat, dann hat eine Reihe die "größer" ist auf jeden Fall auch keinen Grenzwert.

Wenn du zeigen möchtest, dass deine Reihe konvergiert, dann musst du nach oben gegen eine konvergente Majorante abschätzen, also eine Reihe von der du weißt, dass sie konvergiert.
Analog zum Minorantenkriterium: Wenn eine Reihe konvergiert von der du weißt, dass sie "größer" ist, dann tut das auch sicherlich eine "kleinere" Reihe.

Das es hier Sinn macht eine divergente Minorante zu finden kann man sich so überlegen. Was bleibt übrig wenn wir im Nenner die +2 ignorieren würden?
Einfach



und davon weißt du ja bereits, dass sie divergiert. Es liegt also nahe, dass auch diese Reihe divergieren könnte.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Majoranten Minoranten Kriterium Verständnis
Zitat:
Original von Ck247

Welches Kriterium soll ich jetzt nehmen wenn ich so eine Reihe sehe? Kann man das irgendwo her erschließen? Hier nehmen wir ja das Minorantenkrit aber wieso wenn wir keine Vorahnung über das Verhalten der Reihe haben? Und wieso nicht das Majorantenkrit bzw was würde passieren wenn wir das nehmen?


Es kommt darauf an, was deine Erfahrung und Intuition (die ja aus Erfahrung resultiert) dir sagt: Wenn du den Verdacht hast, dass die Reihe divergiert, dann wirst du es erst mal mit dem Minorantenkriterium versuchen. Wenn du aber vermutest, dass sie konvergiert, dann wäre das Majorantenkriterium ein Mittel der Wahl.

Es lässt sich halt in der Mathematik nicht alles nach Schema F lösen, auch wenn das viele gerne so hätten. Mathematik ist keine Ingenieurswissenschaft.
Ck247 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden für die Antworten.
Es ist also so, dass man sich eine Reihe nehme, bei der Konvergenz oder Divergenz bekannt ist (wie hier die harmonische Reihe) und versuche, die aus der Aufgabe gegebene Reihe langsam an die Majoranten bzw Minoranten Reihe (hier die harmonische) durch umformen anzunähern?
Meine Lösung sagt nämlich: k/(k^2+2) >= k/(2*k^2) >= 1/2k = 1/2 * 1/k?
Somit landen wir nämlich bei der gewünschten Minorante 1/k
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ck247
Es ist also so, dass man sich eine Reihe nehme, bei der Konvergenz oder Divergenz bekannt ist (wie hier die harmonische Reihe)

genau

Zitat:
und versuche, die aus der Aufgabe gegebene Reihe langsam an die Majoranten bzw Minoranten Reihe (hier die harmonische) durch umformen anzunähern?

So würde ich das nicht ausdrücken. Es geht darum, dass ein Index existiert, ab dem die Glieder der Folge, die Grundlage der Reihe ist, strikt größer sind als die einer bekannt divergenten Folge. Bei konvergenten Folgen entsprechend umgekehrt.

Zitat:

Meine Lösung sagt nämlich: ?
Somit landen wir nämlich bei der gewünschten Minorante 1/k


ja, that's it.
Ck247 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay alles klar.
Aber wieso haben die dann (ich beziehe mich nur auf den Nenner) aus
k^2+2 -> 2*k^2 gemacht? Zufällig, weil die 2 da war oder hängt da doch eine Art Prinzip hinter? Man hätte ja auch statt 2*k^2 eben 3*k^2 nehmen können (würde dann immernoch passen)?
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Salopp gesagt: du willst nach unten abschätzen und dabei im Nenner alles an anpassen, d.h. im Nenner soll zum Schluss nur noch mit stehen. Ob das zum Schluss oder oder sind...solang die Abschätzung passt, ist das egal.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ck247
Okay alles klar.
Aber wieso haben die dann (ich beziehe mich nur auf den Nenner) aus
k^2+2 -> 2*k^2 gemacht? Zufällig, weil die 2 da war oder hängt da doch eine Art Prinzip hinter? Man hätte ja auch statt 2*k^2 eben 3*k^2 nehmen können (würde dann immernoch passen)?


2 ist halt kleiner als 3 und eine natürliche Zahl. Es geht darum, sich das Leben möglichst einfach zu machen, deswegen sollte man möglichst einfache und kleine Faktoren nehmen. Du hättest auch 1,5 nehmen können oder 1,2763 oder die Irrsinnszahl von Iorek. Dies wäre aber im Sinne größtmöglicher Einfachheit unangemessen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auch noch einmal eine Frage zu der Abschätzung, weil ich dazu geraten hätte die 2 durch abzuschätzen, weil



nur für k>1 gilt, oder spielt das keine Rolle, weil es sich für groß genuge k wieder richtig wird? Bisher dachte ich eine Abschätzung müsste "immer" gelten.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe [WS] Reihen. Die ersten Summanden haben ja keinen Einfluss auf das Konvergenzverhalten, also reicht es eine Abschätzung für alle zu finden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Dann war es in diesem Thread wohl auch unnötig vorher ein paar Summanden der Reihe explizit zu berechnen.

Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Okay.

Dann war es in diesem Thread wohl auch unnötig vorher ein paar Summanden der Reihe explizit zu berechnen.

Konvergenz von Reihe abschätzen; Bruch von Polynomen


Solange die Summanden definiert sind und damit endlich, ist es allerdings unnötig, da eine endliche Summe von endlichen Summanden immer endlich ist.
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