Satz von Schwarz - verbesserung möglich?

01.09.2014, 16:31

r4ndom19

Satz von Schwarz - verbesserung möglich?

Hallo,

der Satz von Schwarz besagt ja, das die Reihenfolge von zwei (bzw. k) partiellen Ableitungen einer Funktion f: R^n->R keine Rolle spielt, wenn man gewährleisten kann, dass die partiellen Ableitungen zwei mal stetig diff'bar sind.
Ich habe nun kürzlich von folgender Version gehört:
Falls (obda n=2) $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ in einem Punkt (a,b) existieren und dort total diff'bar sind, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{df^{2}(a,b)}{dxdy} =\frac{df^{2}(a,b)}{dydx} \end{eqnarray*}$

Existiert tatsächlich eine solche Version, und falls ja wie zeigt man diese bzw. kennt jemand ein Buch/Skript die diese Version beweist?

01.09.2014, 16:35

bijektion

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Zitat:

Falls (obda n=2) $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ in einem Punkt (a,b) existieren und dort total diff'bar sind, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{df^{2}(a,b)}{dxdy} =\frac{df^{2}(a,b)}{dydx} \end{eqnarray*}$

Verstehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ total differenzierbar sein sollen?

01.09.2014, 16:51

r4ndom19

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Richtig!

01.09.2014, 17:03

bijektion

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Also ich hab auch schonmal von so einer Version gehört, und scheinbar gibt es die auch. Laut Wikipedia sollte hier mehr zu finden sein Wink