Orthonormalbasis bezüglich Bilinearform

01.09.2014, 19:55

Doutzi

Orthonormalbasis bezüglich Bilinearform

Meine Frage:
Hallo

Ich habe eine Aufgabe aus einer Prüfung von lineare Algebra 2, welche ich nicht so recht lösen kann. Die Aufgabe lautet folgendermassen:

a ) Man zeige, dass für jede (nxn)-Matrix $\begin{eqnarray*} A\in Mat(n;K ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <x,y>=x^{t}Ay \end{eqnarray*}$
eine Bilinearform auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} K ^{n} \end{eqnarray*}$ ist.

b) Sei
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Man finde eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ bezüglich der durch A definierten Bilinearform $\begin{eqnarray*} <x,y>=x^{t}Ay \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

a) Ich denke, hier muss man einfach folgendes Axiom zeigen:
$\begin{eqnarray*} <\lambda x_{1}+\beta x_{2},y>=\lambda <x_{1},y> +\beta <x_{2},y> \end{eqnarray*}$
Muss ich noch mehr zeigen?

b) Hier habe ich leider nicht so eine Ahnung... Eine Basis wäre doch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder stimmt das nicht? Wie gehe ich weiter vor?

Vielen Dank für die Hilfe!

01.09.2014, 21:18

bijektion

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a) Reicht das denn für eine Bilinearform?
b) Die Elemente des VRs sind $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , also keine Matrizen sondern Vektoren.

02.09.2014, 02:05

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
Muss ich noch mehr zeigen?

Definitiv. Schau dir nochmal die Definition einer Bilinearform an und zeige dann auch die Linearität des zweiten "Slots".

Zitat:

Wie gehe ich weiter vor?

Finde zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1, b_2 \in R^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \langle b_i , b_j \rangle = \delta _{ij} \end{eqnarray*}$

02.09.2014, 11:12

Doutzi

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Vielen Dank euch beiden!

Habe jetzt folgendes, bitte um Korrektur:

a)
$\begin{eqnarray*} <x_{1}+x_{2},y>=(x_{1}+x_{2})^{t}Ay = x_{1}^{t}Ay + x_{2}^{t}Ay = <x_{1},y> + <x_{2},y> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <x, y_ {1}+y_ {2}> = x^{t}A(y_ {1}+y_ {2}) = x^{t}Ay_ {1} + x^{t}Ay_ {2} = <x, y_{1}> + <x,y_ {2}> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <\lambda x,y> = (\lambda x)^{t}Ay = \lambda x^{t}Ay = \lambda <x,y> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < x,\lambda y> =x^{t}A(\lambda y) = \lambda x^{t}Ay = \lambda <x,y> \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <v_{1},v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}^{t} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Somit stehen $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2} \end{eqnarray*}$ senkrecht zueinander, und da beide die Länge 1 haben, bilden sie eine Orthonormalbasis.

02.09.2014, 11:27

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
$\begin{eqnarray*} \langle v_{1},v_{2} \rangle= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}^{t} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist leider falsch. Schau Dir die Matrizenmultiplikation noch mal genauer an.

Ferner muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \langle v_{1},v_{1} \rangle= 1 \langle v_{1},v_{2} \rangle= 0 \langle v_{2},v_{1} \rangle= 0 \langle v_{2},v_{2} \rangle= 1 \end{eqnarray*}$

02.09.2014, 12:22

Doutzi

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Stimmt, habe gerade gemerkt dass ich mich verrechnet habe.

Wie finde ich nun einen solchen Vektor?
Ich versuche gerade, dieses Gleichungssystem aufzulösen (hoffe hier habe ich mich nicht verrechent):

$\begin{eqnarray*} \langle v_{1},v_{1} \rangle= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}^{t} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 3x_1^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie komme ich nicht weiter... Ist dies überhaupt ein guter Ansatz? Oder wie finde ich sonst einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2014, 12:46

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
Ist dies überhaupt ein guter Ansatz?

Ja. Das ist aber nur die erste von vier Gleichungen (s.o.). Schreibe die drei Anderen ebenfalls auf und Du hast vier Gleichungen für vier Unbekannte.

EDIT: Überlege Dir vorweg passende Bezeichnungen für die vier Unbekannten.

02.09.2014, 13:47

Doutzi

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Also ich habe folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit komme ich auf folgendes Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3a_{1}^{2} & -2a_{1}a_{2} & +2a_{2}^{2} = 1 \\ 3b_{1}^{2} & -2b_{1}b_{2} & +2b_{2}^{2} = 1 \\ 3a_{1}b_{1} & -a_{2}b_{1} & -a_{1}b_{2} & +2a_{2}b_{2} = 0 \\ 3a_{1}b_{1} & -a_{1}b_{2} & -a_{2}b_{1} & + 2a_{2}b_{2} = 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier streichen sich ja die letzte Zeile weg, da sie identisch ist zur zweitletzten. Muss ich jetzt wirklich die Gleichungen umformen und ineinander einsetzen? Oder sieht man dieser Gleichung jetzt schon an, wie das Resultat aussehen könnte?

02.09.2014, 14:02

Bernhard1

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Offensichtlich kann man die Basis im R² beliebig drehen. Man darf also (beispielsweise) $\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen.

EDIT: Das vereinfacht das Gleichungssystem dann ganz wesentlich smile

02.09.2014, 15:25

Doutzi

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Danke für den Tipp, habe das vorhin schon mal ausprobiert ohne zu wissen, dass ich das tatsächlich darf^^

Habe aber immer noch ein Problem: Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \end{eqnarray*}$ setze, erhalte ich für
$\begin{eqnarray*} a_{2} = \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ .
Diese Werte scheinen zu stimmen, wenn ich sie in die erste Gleichung einsetze erhalte ich 1.

Aber egal was ich wie umforme und wieder einsetze, ich komme auf keine passenden Werte für $\begin{eqnarray*} b_1, b_{2} \end{eqnarray*}$ . Die Werte, welche ich durch Umformen erhalte, stimmen dann zwar für die dritte Gleichung, aber in der zweiten erhalte ich nie 1 wenn ich einsetze... Was mache ich falsch?

02.09.2014, 15:32

Bernhard1

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Nimm Dir mal die vierte Gleichung vor. Die läßt sich stark vereinfachen. Setze diese Gleichung dann in die zweite Gleichung ein.

02.09.2014, 15:42

Doutzi

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Ok danke, jetzt hat's funktioniert smile

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