Maximale Menge aller reellen y, für die die Matrix positiv definit ist

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Parpa Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Menge aller reellen y, für die die Matrix positiv definit ist
Meine Frage:
Ich soll die Menge aller y Element der reellen Zahlen angeben, für die folgende Matrix

negativ definit ist.

Meine Ideen:
Ich bin über die Hauptminoren gegangen (Matrix ist ja symmetrisch), sodass die ungraden Minoren negativ und die graden positv sind.
Durch kurzes versuchen habe ich rausgefunden, dass das für alle y Element (0,6) der Fall ist.
Die Lösung ist aber falsch. Wie soll ich nun vorgehen? Bzw. was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du uns nicht zeigst, was du gerechnet hast, können wir dir auch nicht sagen, wo dein Fehler ist.
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geben Sie die maximale Menge aller y?R an für die die Matrix positiv definit ist
Ich hatte mir überlegt, dass bei dem Minor

nur Zahlen <6 eingesetzt werden können, damit die Determinante noch minus sein kann.

Oh, ich merke grade, dass ich aus irgend einem Grund bei dem 4x4 Minor Sarrus angewendet habe, was ja nicht geht.

Ich rechne das morgen noch mal. Aber die grundsätzliche Herangehensweise ist richtig? Oder gibt es eine bessere?

Grüße
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine bessere (und schnellere) Vorgehensweise fällt mir nicht ein. Das Berechnen der Eigenwerte ist hier sicherlich nicht gerade schön. Augenzwinkern
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »

Die eigentliche Matrix lautet,

hatte mich vertippt...

Aber auch wenn ich die Terminante des 4x4 Minors so berechne:



Also nach -1 entwickle und dann in der "inneren" 3x3 Matrix wieder Sarrus anwende, kann ich nur Zahlen <6 einsetzen. Bei y=7 wäre ja (-2*1*-7=14)-(3*3*-2=-18) also 32. Das *(-1) und die Det ist negativ, was bei graden Minoren ja nicht der Fall sein darf.

Also sollte die Menge aller y Element (-unendlich, 6) sein. Aber laut Lösung ist das falsch... Wo liegt mein Fehler?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, dass das jetzt die richtige Matrix ist, die da steht? Die ist nämlich für gar kein y negativ definit.

Irgendwie ist das alles ein bisschen durcheinander, was du da geschrieben hast. Am besten, du zeigst mal, was du bei dem 3. und 4. Hauptminor für Determinanten ausgerechnet hast (mit Rechenweg).
 
 
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die aktualisierte Matrix stimmt.

Ok. Für den 3. Hauptminor habe ich Sarrus benutzt und gesehen, dass die Multiplikation der Hauptdiagonalen alleine reicht zur Bestimmung der Determinante (alle andern Diagonalen werden ja igendwann mit einer 0 multipliziert). Also
(-1)*(-2)*(y-6) -> 2y-12<0 -> y<6

Für den 4. Hauptminor habe ich errechnet:
(-2)*(y-6)*(-y) -(-18)-> y^2-6y+9<0 sein (da die Deteminante ja noch *(-1) genommen werden muss, damit sie insgesamt positiv ist). Mit de pq-Formel ergibt sich jetz nur der Wert

Damit kommt in der obigen Ungleichung auf jeden Fall so 0<0 raus, auf nicht geht.

Falls das stimmt: Ist das der Grund, warum kein y passt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden habe, meinst du das richtige.
Ich schreib's nochmal etwas übersichtlicher auf:
Der 4. Hauptminor ist
Und das ist für kein y positiv:


Deswegen kann die Matrix für kein y negativ definit sein.

(Stimmt das mit deiner Lösung überein?)
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Ergebnis stimmt.
Da ich mir Graphen aber schlecht vorstellen kann: Ist auch mein Weg über die pq Formel möglich? Also, dass wenn 0<0 rauskommt es kein y der Reellen Zahlen geben kann?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt da 0<0 raus?

Du kannst es so machen: Erstmal berechnest du die Nullstelle(n) der Funktion (z.B. pq-Formel). Dann guckst du noch, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist (das erkennst du an dem Koeffizienten von ). Und dann weißt du auch, an welchen Stellen die Funktion größer/gleich/kleiner 0 ist (so viel Vorstellungsvermögen hast du ja bestimmt Augenzwinkern ).
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs verstanden, DANKE smile

Aber die Überlegung zum 3. Hauptminor (also, dass y<6 sein muss) war so weit korrekt?

Und angenommen den Fall, dass die Parabel zum 4. Minor gespiegelt sei, welche Auswirkungen hätte das auf das Ergebnis.? Dadurch wären ja eigentlich alle y größer als (oder größer gleich?) 0. Wäre das Intervall dann (0,6) oder wäre auch das nicht möglich (kein y reell), da hier auch Werte >6 möglich sind, was ja laut 3. Minor (y<6) nicht sein darf.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Piiet
Aber die Überlegung zum 3. Hauptminor (also, dass y<6 sein muss) war so weit korrekt?

Ja.

Zitat:
Original von Piiet
Und angenommen den Fall, dass die Parabel zum 4. Minor gespiegelt sei, welche Auswirkungen hätte das auf das Ergebnis.? Dadurch wären ja eigentlich alle y größer als (oder größer gleich?) 0. Wäre das Intervall dann (0,6) oder wäre auch das nicht möglich (kein y reell), da hier auch Werte >6 möglich sind, was ja laut 3. Minor (y<6) nicht sein darf.

Dann wäre der 4. Hauptminor größer 0, falls ist.
Die Matrix ist also positiv definit, wenn (3. Hauptminor) und (4. Hauptminor) ist. y darf dann natürlich auch negative Werte annehmen.
Piiet Auf diesen Beitrag antworten »

Aso.
Und wenn es zwei Nullstellen gäbe und die Parbel nach oben geöffnet wäre, wären nach diesem Minor nur Zahlen ungleich denNullstellen möglich oder ließe sich dann keine Aussage so einfach treffen? Und was wäre wenn die Parabel nach unten geöffnet wäre und zwei Nullstellen besäße?
Viele Fragen, hoffentlich nicht zu viele Augenzwinkern
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es zwei Nullstellen gibt und die Parabel nach oben geöffnet ist, dann ist die Funktion zwischen den beiden Nullstellen negativ und links von der linken bzw. rechts von der rechten Nullstelle positiv, Beispiel:


Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist es genau umgekehrt: Zwischen den beiden Nullstellen ist die Funktion positiv und links von der linken bzw. rechts von der rechten Nullstelle negativ.
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