Cauchy Kriterium bei nicht monotoner rekursiven Folge

02.09.2014, 12:48

diosmio

Cauchy Kriterium bei nicht monotoner rekursiven Folge

Hallo!

Ich komme bei der Anwendung des Cauchy Kriteriums für folgende Folge nicht wirklich weiter:

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{1}{2+x_{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$
------------------------

Ich habe schon mit vollständiger Induktion bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} \forall x_{n}: 0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jedoch ist die Folge nicht monoton, d.h. sie pendelt sich sozusagen auf ihren Grenzwert ein.

Folgendes habe ich bis jetzt gemacht:

Anwendung Cauchy:
$\begin{eqnarray*} |x_{m+1} - x_{n+1}| = | \frac{1}{2+x_{m}} - \frac{1}{2+x_{n}} | =\frac{|(2+x_{n})-(2+x_{m})|}{(2+x_{m})(2+x_{n})} = \frac{|x_{n} -x_{m}| }{x_{n}x_{m}+2x_{n}+2x_{m}+4 } \end{eqnarray*}$

Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{|x_{n} -x_{m}| }{x_{n}x_{m}+2x_{n}+2x_{m}+4 } < \frac{x_{n}}{x_{n}x_{m}+2x_{n}+2x_{m}+4 } < \frac{x_{n}}{x_{n}x_{m}} = \frac{1}{x_{m}} <br /> \end{eqnarray*}$

Hier komme ich dann nicht mehr weiter.
Wäre die Folge z.B. monoton steigend, würde ja z.B. gelten $\begin{eqnarray*} x_{N}\leq x_{n} , x_{m} \end{eqnarray*}$ .
Dann würde ich $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{x_{N}} \end{eqnarray*}$ wählen....

Aber da die Folge nicht monton ist weiß ich nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen soll.
Hat jemand einen Tipp oder habe ich oben schon etwas falsch?

02.09.2014, 14:19

Gurki

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RE: Cauchy Kriterium bei nicht monotoner rekursiven Folge
Es ist

$\begin{eqnarray*} \left|x_{n+1}-\left(\sqrt(2)-1\right)\right|=\frac 1{\left(\sqrt{2}+1\right)(2+x_n)}\cdot \left|x_n-(\sqrt(2)-1)\right| \end{eqnarray*}$

02.09.2014, 15:31

Gurki

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RE: Cauchy Kriterium bei nicht monotoner rekursiven Folge

Zitat:

Original von Gurki
Es ist

$\begin{eqnarray*} \left|x_{n+1}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right|=\underbrace{\frac 1{\left(\sqrt{2}+1\right)(2+x_n)}}_{\leq\frac 14}\cdot \left|x_n-(\sqrt{2}-1)\right| \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist Obiges so etwas knapp.

Zusammen mit Deiner Abschätzung für die Folgeglieder folgt daraus induktiv

$\begin{eqnarray*} \left|x_n-\left(\sqrt{2}-1\right)\right|\leq\frac {\sqrt{2}-1}{4^n} \end{eqnarray*}$

womit Konvergenz und Grenzwert dann offensichtlich sind.

02.09.2014, 16:18

diosmio

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So ganz hab ich das jetzt noch nicht verstanden...

Was für einen Hintergrund hat das $\begin{eqnarray*} \left|x_{n+1}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right| \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ ist ja auch schon der Grenzwert?
Mit dem Cauchy Kriterium muss mir ja der Grenzwert nicht bekannt sein, oder habe ich da was falsch verstanden?

02.09.2014, 16:43

Gurki

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Verabschiede dich hier einfach mal vom Cauchy-Kriterium.
(Gut möglich, dass es damit auch geht aber ich würd's so machen wie hier beschrieben)

Die Beschränkheit der Folge hast Du bewiesen.

Wenn Du jetzt annimmst die Folge wäre konvergent, dann kommst Du sofort darauf, dass als möglicher Grenzwert nur

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$

in Frage kommt.

Zeige nun die von mir genannte Ungleichung, aus der dann mittels Einschließungskriterium oder Epsilon-Definition, die Konvergenz der Folge gegen eben diesen Grenzwert folgt.

Hier ist es eben ganz nützlich den möglichen Grenzwert explizit ins Spiel zu bringen und dann zu zeigen, dass er tatsächlich der Grenzwert ist.

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