Typ der Quadrik bestimmen

02.09.2014, 16:06

Doutzi

Typ der Quadrik bestimmen

Meine Frage:
Hallo

Habe folgende Prüfungsaufgabe gegeben: Man bestimme den Typ der Quadrik:
$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 2xy +3y^{2} + \sqrt{2} x - \sqrt{2}y = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe bis jetzt folgendes:
Die Matrix ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich die Eigenwerte 2 und 4, mit den dazugehörigen Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter? Welche Schritte kommen als nächstes? Muss ehrlich sagen, ich habe keinen blassen Schimmer von diesem Thema... und leider schreibe ich in einer Woche eine Prüfung über lineare Algebra^^ wäre also sehr froh um Tipps, wie man bei einer solchen Aufgabe vorgeht, was man alles beachten muss etc., damit ich mal ein ganzes Beispiel durchrechnen kann smile

Vielen Dank!

02.09.2014, 16:11

bijektion

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Die Matrix stimmt schonmal. Jetzt solltest du zuersteinmal eine Hauptachsentransformation durchführen smile

02.09.2014, 16:26

Doutzi

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Hmmm also:

Da ich die Eigenwerte habe, kann ich die Diagonalmatrix bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x^{t}Ax +2b^{t}x + c = x^{t} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} x + 2b^{t}x + c = 2x^{2} + 4y^{2} + 2b^{t}x + c = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dies ist (wahrscheinlich) noch nicht alles, aber ich weiss gerade nicht wie weiter. Was mache ich mit dem $\begin{eqnarray*} 2b^{t}x + c = 0 \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2014, 16:38

bijektion

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Hm, du solltest die Hauptachsentransformation schon bestimmen, so wird das nichts.

$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 2xy +3y^{2} + \sqrt{2} x - \sqrt{2}y = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Ausgangsgleichung;

in Matrixschreibweise also: $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)\cdot A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + (\sqrt{2},-\sqrt{2})\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ mit der passenden Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ .

Mit einer Hauptachsentransformation, d.h. mit $\begin{eqnarray*} T\in GL_n(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} T^t \cdot A \cdot T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt,

folgt daraus: $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} +(\sqrt{2},-\sqrt{2})\cdot T \cdot \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ .

Du solltest jetzt erstmal $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bestimmen.

02.09.2014, 16:48

Doutzi

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Also T ist meiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Kann ich jetzt einfach deine Gleichung Gleichung auflösen nach $\begin{eqnarray*} y_{1}, y_{2} \end{eqnarray*}$ ? Ist dies dann meine Normalform?

02.09.2014, 16:58

bijektion

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$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ sollte so passen.

Zitat:

Kann ich jetzt einfach deine Gleichung Gleichung auflösen nach $\begin{eqnarray*} y_{1}, y_{2} \end{eqnarray*}$ ? Ist dies dann meine Normalform?

Nein, setze erstmal alles ein und Klammere aus.

02.09.2014, 17:09

Doutzi

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Okey

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} +(\sqrt{2},-\sqrt{2})\cdot T \cdot \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ .

Mit eingesetzten Werten ergibt das dann:

$\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} +(\sqrt{2},-\sqrt{2})\ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = 2y_{1}^{2} + 4y_{2}^{2} + \begin{pmatrix} 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = 2y_{1}^{2} + 4y_{2}^{2} + 2y_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Was ist der nächste Schritt?

02.09.2014, 17:14

bijektion

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Du könntest etwa $\begin{eqnarray*} y_2=z_2-\frac{2}{2\cdot 4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1=z_1 \end{eqnarray*}$ substituieren.

02.09.2014, 17:39

Doutzi

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Ich versuche gerade, deine Substitution zu verstehen. Stimmt meine Vermutung, dass dies mit der quadratischen Ergänzung zu tun hat? Also dass du einfach $\begin{eqnarray*} 4y_2^{2} + 2y_{2} \end{eqnarray*}$ durch quadratische Ergänzung so umformst, dass du schlussendlich in der Ursprungsgleichung nur noch die Quadrate hast, und nicht mehr Terme wie $\begin{eqnarray*} 2y_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Denn somit wäre die Gleichung ja:

$\begin{eqnarray*} 2z_{1}^{2} + 4z_{2}^{2} - \frac{1}{4} = 0 \end{eqnarray*}$ , und dies entspricht doch einer Ellipse, oder?

02.09.2014, 17:39

Doutzi

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