P( mind. 1,2,3..mal) mit Summenzeichen ?

02.09.2014, 22:56

schrauberking

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P( mind. 1,2,3..mal) mit Summenzeichen ?

Meine Frage:
hallo lieber Mathefreunde,
ich weis das es generellel einfacher ist bei der "mindestens" Frage mit dem Komplementärereignis zu rechnen aber man könnte ja auch mit dem Summenzeiche arbeiten:
Die Summe der Binomialverteilung (also die Formel) mit Startwert k und Endwert n. Die Frage ist nun: In welchen Schritten wird dann aufsummiert? Ich will das bei n über k das k immer um 1 vergrößert wird bis es schließlich n erreicht. Wie kann man das hier angeben? ( Formel angeben klappt iwi nicht, bin "wahrscheinlich" zu blöd xD))

02.09.2014, 23:45

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$

Du meinst sowas?

Dann würde z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^5\binom{5}{k}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5} \end{eqnarray*}$

Das wäre aber nur eine vereinfachte Schreibweise. Eine vereinfachte Rechnung hast du dadurch in der Regel nicht.

03.09.2014, 00:01

Dopap

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RE: P( mind. 1,2,3..mal) mit Summenzeichen ?

Zitat:

Original von schrauberking
Ich weis das es generellel einfacher ist bei der "mindestens" Frage mit dem Komplementärereignis zu rechnen [...]

das ist meistens so, aber nicht immer.

Wenn bei einem 8-fachen Münzwurf nach der Wkt gefragt wird, mindestens 7 mal "Zahl" zu erzielen, dann würde ich nicht über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen. smile

smile

EDIT, korrekt: ... über das Gegenereignis ...

03.09.2014, 00:48

schrauberking

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RE: P( mind. 1,2,3..mal) mit Summenzeichen ?
$\begin{eqnarray*} 1- \sum\limits_{x=1}^0 \begin{pmatrix} n \\ k-x\\ \end{pmatrix} * p^k* (1-p)^n-k \end{eqnarray*}$

03.09.2014, 01:18

Dopap

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und was soll das bedeuten verwirrt

verwirrt

03.09.2014, 09:43

HAL 9000

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Kommen wir doch zur eigentlichen Frage:

Zitat:

Original von schrauberking
Die Summe der Binomialverteilung (also die Formel) mit Startwert k und Endwert n.

Wenn $\begin{align*} k \end{align*}$ der Startwert ist, dann kommt $\begin{align*} k \end{align*}$ nicht zugleich als Summationsindex in Frage - wir brauchen dann einen anderen, nennen wir ihn z.B. $\begin{align*} j \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} p^j (1-p)^{n-j} \end{align*}$ .

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03.09.2014, 13:08

schrauberking

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Danke für die Antworten.
Ich kenne mich leider noch nicht so gut mit dem Summenzeichen aus, aber ich wollte jetzt vor allem auf die Formel die ich hingeschrieben habe eingehen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^0 \begin{pmatrix} n\\ k-x\\ \end{pmatrix} * p^k * (1-p)^n-k \end{eqnarray*}$
Also das -k am Ende soll natürlich im Exponenten stehen (weis leider nich wie..?)
Ich würfele z.B fünf mal mit einem Würfel. Ich suche nun nach der Wk. mind 3 mal einen Treffer zu erzielen. Die Formel soll sagen ich starte bei genau 3 Treffer, ziehe davon aber sofort x=1 ab. Soll heißen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 -1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das würde bedeuten 5 über 2, was die Anordnungsmöglichkeiten bei genau 2 Treffer beschreibt. Nun ziehe ich von 2 wieder die 1 ab und erhalte für k den Wert 1, also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das mache ich bis einschließlich null, was kein Treffer bedeuten würde. Dann rechne ich noch mit der Binomialverteilung die jew. Wahrscheinlichkeiten aus.
Somit habe ich alle Wahrscheinlichkeiten die kleiner sind als 3 Treffer.
Was ich jetzt mache ist nur noch diese Wahrscheinlichkeiten aufzusummieren und von 1 abziehen, ich erhalte also die Wahrscheinlichkeit k $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 3.
Die Frage die sich mir als Anfänger stellt ist eben ob meine Darstellung mit dem SUmmenzeichen richtig ist. Denn ich will ja von k die 1 abziehen und und das bis ich bei der 0 ankomme. Also: k -1 = neuer Wert, neuer Wert -1 = wieder neuer Wert usw. usf.
Kann das bitte jemand korrigieren.
Vielen vielen dank.

03.09.2014, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von schrauberking
Kann das bitte jemand korrigieren.

Manchmal ist (Formel) niederreißen und neu bauen die einfachere Option. Und die hatte ich ja oben gezogen.

03.09.2014, 18:43

schrauberking

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Es geht mir lediglich darum ob die Interpretation der Formel unter Verwendung des Summenzeichens, so wie ich es verwende, eindeutig und vor allem KORREKT ist.

03.09.2014, 18:59

HAL 9000

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Nicht korrekt, und zwar in so ziemlich allen Belangen.

03.09.2014, 23:16

schrauberking

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Der obere Summationsindex müsste n sein. Das sehe ich ein.
Könntest du deine Antwort bitte genauer ausführen.
Danke.

04.09.2014, 08:24

HAL 9000

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Die Einzelwahrscheinlichkeit für Wert $\begin{align*} j \end{align*}$ der Binomialverteilung $\begin{align*} B(n,p) \end{align*}$ ist gleich $\begin{align*} \binom{n}{j}p^j (1-p)^{n-j} \end{align*}$ , und du interessierst dich für die Werte $\begin{align*} j=k,k+1,\ldots,n \end{align*}$ , das führt dann in der Summe zu $\begin{align*} \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} p^j (1-p)^{n-j} \end{align*}$ .

Wie soll ich da deine Formel "retten"?

Dass es nicht $\begin{align*} \sum_{x=1}^0 \end{align*}$ heíßen muss, sondern $\begin{align*} \sum_{x=k}^n \end{align*}$ ?

Dass es nicht $\begin{align*} \binom{n}{k-x} \end{align*}$ heíßen muss, sondern $\begin{align*} \binom{n}{x} \end{align*}$ ?

Dass es nicht $\begin{align*} p^k(1-p)^{n-k} \end{align*}$ heíßen muss, sondern $\begin{align*} p^x(1-p)^{n-x} \end{align*}$ ?

Wie ich bereits sagte: in ziemlich allen Belangen falsch. Ich hoffe, das war jetzt deutlich genug.

P.S.: Falls du doch über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen willst (was du im Eröffnungsbeitrag aber gerade nicht wolltest), dann musst du die Werte für $\begin{align*} j=0,1,\ldots,k-1 \end{align*}$ von der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 abziehen, d.h.

$\begin{align*} 1-\sum_{j=0}^{k-1} \binom{n}{j} p^j (1-p)^{n-j} \end{align*}$ .

Oder wenn wir mit $\begin{align*} x \end{align*}$ die Anzahl der von $\begin{align*} k \end{align*}$ (nach unten) entfernten Schritte bezeichnen, d.h. $\begin{align*} j=k-x \end{align*}$ , dann kann man es auch als

$\begin{align*} 1-\sum_{x=1}^{k} \binom{n}{k-x} p^{k-x} (1-p)^{n-(k-x)} \end{align*}$

schreiben. Näher ran an deine obige Formel komme ich allerdings nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2014, 22:02

schrauberking

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Sorry wenn ich jetzt dum reinfrage aber kann man bei " Ich gehe von null bis k-1" das j nicht einfach durch ein k ersetzen. Das heißt im unteren und oberen Summationsindex würde das k vorkommen.?
2. Frage:
Wie ist das mit den Intervallen beim Summenzeichen. Für z.B: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^8 x^2 \end{eqnarray*}$ , also wenn ich so ohne großes Vorwissen da ran gehe könnte ich doch auch für x den Wert 0,000000000000000007 einsetzten.
Ok der Einfachheit halber x=0,5.
Trotzdem würde man ( sowie in den youtube videos) nur die natürlichen Zahlen von 1-8 aufschreiben. Müsste man wenn man auch die Zahlen zwischen 0 und 1 einsetzten wollte das nebenan definieren?

04.09.2014, 22:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von schrauberking
Sorry wenn ich jetzt dum reinfrage aber kann man bei " Ich gehe von null bis k-1" das j nicht einfach durch ein k ersetzen. Das heißt im unteren und oberen Summationsindex würde das k vorkommen.?

Dazu habe ich mich bereits im ersten Beitrag oben geäußert, aber den hast du wohl nicht gelesen. unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} k \end{align*}$ ist dein unterer Wert, $\begin{align*} n \end{align*}$ der obere. Damit ist das Symbol $\begin{align*} k \end{align*}$ als "freier" Summationsindex nicht geeignet!!!

Sowas wie

$\begin{align*} \sum_{k=k}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{align*}$

wäre einfach symbolischer Unfug.

04.09.2014, 23:11

schrauberking

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Also, ich bis beziehe mich auf die Formel VON NULL BIS K-1.
Ob ich das J durch ein K ersetzen darf und. Außerdem blieb der zweiter Teil leider unbeantwortet.
Danke. böse

böse

04.09.2014, 23:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von schrauberking
Also, ich bis beziehe mich auf die Formel VON NULL BIS K-1. böse

böse

Das macht ÜBERHAUPT KEINEN UNTERSCHIED - auch hier ist das ungeeignet: $\begin{align*} \sum_{k=0}^{k-1} \end{align*}$ , da beißt sich doch die Katze in den Schwanz. unglücklich

unglücklich

Keine Ahnung, warum du so verstockt und verbohrt die einfache Darstellung $\begin{align*} \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} p^j (1-p)^{n-j} \end{align*}$ ablehnst und stattdessen auf deinem (nun hinreichend analysiert) symbolischen Müllhaufen beharrst.

Und wegen deiner Undankbarkeit mit diesem böse

böse

ist das jetzt auch mein letzter Beitrag hier. Forum Kloppe

Forum Kloppe

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