(Zahlentheorie) Beweis zu 5^((p-1)/2) mod p

03.09.2014, 06:48	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
(Zahlentheorie) Beweis zu 5^((p-1)/2) mod p Meine Frage: Hallo alle zusammen! Mal wieder ich, immer noch am Rechnen von alt-Klausuren. Die Frage lautet: Zeige: Für jede Primzahl p $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 2, 5 gilt: $\begin{eqnarray} 5^{\frac{p-1}{2} } mod p = \left\{\begin{pmatrix} 1, falls : p\equiv \pm 1 mod 5;\\ -1, falls: p\equiv \pm 2 mod 5 \\\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ (Natürlich ohne die hinteren beiden Klammern und mit Leerzeichen :-) Meine Ideen: Lieder habe ich bisher keine zielführende Idee gehabt. Ich hatte mal an das Legendre-Symbol gedacht und dann versucht zu überlegen, wann es zu einer quadratischen Gleichung führen würde. Ein anderer Ansatz war, dass p +/- 1 mod 10 bzw. +/- 3 mod 10 sein müßte, da die anderen Varianten mod 5 auf gerade Zahlen führen würden, die ja bekanntlich nicht prim sind (bwz. die 2 ausgeschlossen). Aber leider finde ich nirgends zum Ziel. Vielleicht kann mir ja jemand helfen, oder ne Idee geben. Danke schon mal im Vorraus.
03.09.2014, 09:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, die Anwendung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes ist dir hier untersagt (mit dem wäre es ja nur ein Einzeiler) ?
03.09.2014, 09:25	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, ich darf alles anwenden. Aber ich sehe gerade den Einzeiler nicht. :-)
03.09.2014, 09:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na zunächst mal ist ja mit Legendre-Symbol geschrieben $\begin{align} a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left( \frac{a}{p} \right) \bmod p \end{align}$ , das gilt natürlich auch für $\begin{align} a=5 \end{align}$ . Und dann wende doch das quadratische Reziprozitätsgesetz auf die Primzahlen $\begin{align} 5 \end{align}$ und $\begin{align} p \end{align}$ an. P.S.: Einzeiler ist wohl ein wenig übertrieben, es sind eher so drei bis vier Zeilen.
03.09.2014, 09:51	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal. Werde mich nachher noch mal genauer dran setzen. Mache gerade Kettenbruch, Pellsche Gleichung, Einheiten von Ganzheitsringen. :-)

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