Grenzwertberechnung einer Reihe

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03.09.2014, 10:30	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung einer Reihe Meine Frage: Hallo, Aufgabe ist es den Grenzwert dieser Reihe zu berechnen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{3^{n-1}} \end{eqnarray}$ Grenzwert soll $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hatte erst die Idee es mit der Partialbruchzerlegung zu versuchen,das hat aber nicht geklappt. Also hier mal meine Umformungen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^n \frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3^n * \frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{3}{3^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{3^n}{3^{2n}} \end{eqnarray}$ // Habe mit 3^n erweitert Jetzt steht wenigstens im Exponenten meine $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg ? Ich hoffe ihr könnt mir helfen
03.09.2014, 10:41	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Schreib die Reihe am besten erstmal so um, dass die Summation von n=1 startet. Danach solltest du spätestens den Typ der Reihe wiedererkennen? Edit: Na klarer siehst du es vielleicht wenn du die Aufgabe so umschreibst, das nur noch eine Rihe von n=0 bis unendl. gelöst werden muss.
03.09.2014, 11:07	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Das sollte doch dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^{n+1}} \end{eqnarray}$ Nur wie genau soll mir das helfen ?
03.09.2014, 11:11	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Ja vielleicht hab ich es blöd formuliert, ich meinte das hier: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n-1 \end{eqnarray}$ oder vielleicht bleiben wir bei deiner Umformung und schreiben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n \end{eqnarray}$
03.09.2014, 11:47	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Also habe das jetzt so gelöst: Wegen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ (Geometrische Reihe) $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty } \frac{1-(\frac{1}{3})^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3} * \frac{1-\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{3})^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3} * \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} * \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Korrekt ?
03.09.2014, 11:48	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe So siehts aus!
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03.09.2014, 11:51	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Yes! Danke !!
03.09.2014, 12:00	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Hättest du vielleicht noch so einen Anstoß ? Für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{{(-1)}^n}{2^n} \end{eqnarray}$ weil ich da schon länger dran rum probiere.
03.09.2014, 12:08	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe So spontan würde ich mal versuchen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray}$ kommt das hin?
03.09.2014, 12:18	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
kurzer Einwurf: was spricht gegen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2} \right) ^{n} \end{eqnarray}$ ? Und wieder raus.
03.09.2014, 12:22	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Hab es gerade so gemacht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{{(-1)}^n}{2^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n \end{eqnarray}$ Wegen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ (Geometrische Reihe) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n = \frac{1-\left(\frac{-1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty } \frac{1-\left(\frac{-1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1-\lim_{n \to \infty } \left(\frac{-1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Passt ?
03.09.2014, 12:23	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
@mathefreak Ja genau so
03.09.2014, 12:23	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Ja, hab ich auch raus.
03.09.2014, 12:25	mathNoop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe Sehr gut ! Danke noch mal für die schnelle Hilfe hier !

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