(Zahlentheorie) Weitere Lösungen zu Pellscher Gleichung bei bekannter Lösung |
| 03.09.2014, 12:34 | clarinet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| (Zahlentheorie) Weitere Lösungen zu Pellscher Gleichung bei bekannter Lösung Hallo! Wie auch sonst: Bin dabei alte Klausuren zu rechnen und bin auf der Suche nach dem "Trick". Aufgabe: (x,y)=(15,4) ist eine Lösung der Pellschen Gleichung x²-14y²=1. Geben sie 6 weitere ganzzahlige Lösungen an. Meine Ideen: Allgemein sei meinen Ideen vorran gestellt, dass in der Klausur nur Papier und Schreibgerät erlaubt sind. Also kein Taschenrechner, der größere Rechnungen machen könnte. 1. Idee: Über die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung mich dran herran pirschen. Dazu müßte aber erst die Kettenbruchentwicklung berechnet werden. Und dannach die einzelnen Näherungsbrüche. --> Problem, sehr sehr viel Rechenaufwand. 2.Idee: Bei bekannter Lösung ergeben sich für die Pellsche Gleichung weitere über folgende Rechnung: --> gibt aber auch großen Rechenaufwand, da die 2. Lösung schon (449, 120) ist. 3.Idee: Nach Recherchen im I-Net habe ich noch folgende Variante gefunden: Alles gegebene wie gehabt. Dann braucht man 2 Hilfsvariablen: und dann kann man mit den folgendne Formeln weitere Lösungen ausrechnen: Damit bin ich aber auch nicht wirklich zufrieden, da dann ja diverse Wurzelausdrücke etc. verwendet werden müßten und dann auch höhere binomische Formeln auftauchen. Dass waren meine Ideen. Bitte jetzt nicht falsch verstehen, ich bin sehr wohl des Rechnens mit Stift und Papier fähig, ich kann auch Kopfrechnen und mir ist auch klar, dass in der Klausur ein gewisser Anspruch da ist. Aber da die anderen Aufgaben auch alle relativ einfach und mit "wenig" Aufwand zu erledigen waren, gehe ich mal davon aus, dass es hier auch eine "schnelle" Variante gibt |
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| 03.09.2014, 13:53 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Du kannst 5 Lösungen komplett ohne irgendeine Rechnung angeben.
Wo kammt denn die Wurzel her?
Das zu berechnen ist nicht mal annähernd so was ähnliches wie großer Rwchwnaufwand. Das sind je 2 Multiplikationen von 2-stelligen Zahlen und eine Addition von 3-stelligen Zahlen. Mit der berechneten Lösung kannst du sogar ohne weiteres 9 zusätzliche ganzzahlige Lösungen angeben. |
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| 03.09.2014, 20:08 | clarinet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Camtain Kirk, Wie kann ich den die 5 Lösungen angeben? Die suche ich ja. Wahrscheinlich stehe ich vor lauter kompliziertem Denken einfach auf dem Schlauch. Die Wurzel kommt von der zu dem Zeitpunkt einfach schon fehlenden Konzentration nach x Stunden lernen heute morgen. Sprich, es ist einfach ein Schreibfehler. Na ja, (449, 120) ist noch vom Rechenaufwand her sehr gering gewesen. Aber wenn ich dann auf dem Weg weiter rechnen würde, dann würde es besch..., da es ja beim nächsten Mal schon 3stellige Zahlen sind zum verrechnen, die dann locker 4 oder 5 oder mehrstellig werden. :-) |
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| 03.09.2014, 20:37 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beachte und den Umstand, dass auch die Null eine ganze Zahl ist. |
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| 03.09.2014, 20:49 | clarinet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hätte ich dann: (1,0); (-1,0); (15,4); (-15,4); (15,-4); (-15,-4) bzw. dann sogar noch: (449,120); (-449,120); (449,-120); (-449,-120) Richtig? Oder hab ich dann noch was vergessen? Danke! |
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| 03.09.2014, 21:01 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sind die 9 Lösungen, die mir eingefallen wären. Kann sein, dass Captain Kirk noch andere im Sinn hatte. |
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