Konvergenz von Reihen

03.09.2014, 15:52

mathNoop

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Folgende Reihe ist auf Konvergenz zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } \end{eqnarray*}$

Hab leider noch keinen richtigen Ansatz gefunden.
Habe es zwar mit Quotientenkriterium versucht aber das hat iwie nicht geklappt.
Würde mich über einen Tipp freuen.

Danke smile

Meine Ideen:
Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = |\frac{an+1}{an}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1 * \sqrt{n^2-1} }{\sqrt{(n+1)^2 -1}*1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2+2n}} \end{eqnarray*}$

Und da stehe ich nun...

03.09.2014, 15:58

Gast11022013

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Was glaubst du denn? Konvergiert oder divergiert die Reihe?
Schätze die Reihe lieber ab.

Mit dem Quotientenkriterium kommst du nicht weiter.

03.09.2014, 21:34

mathNoop

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Ich denke, dass die Reihe divergiert gegen
$\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

Gut ich werde das morgen testen und sehen zu welchem Ergeniss ich komme.

03.09.2014, 22:47

Gast11022013

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Ja und welches Kriterium bietet sich da an um deine Vermutung zu bestätigen?

04.09.2014, 11:13

mathNoop

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Da die Reihe divergent ist gegen den uneigentlichen Grenzwert $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$
habe ich nun das Minoranten-Kriterium angewand.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ muss divergent sein.

Quotientenkriterium zum Beweis dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent ist.

$\begin{eqnarray*} \alpha = \lim_{n \to \infty } |\frac{an+1}{an}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha =\lim_{n \to \infty } |\frac{1*n}{(n+1)*1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } |\frac{n}{n+1}| \end{eqnarray*}$ // durch n

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } |\frac{1}{1+\frac{1}{n}}| = 1 \end{eqnarray*}$

Da der Satz des Quotientenkriteriums aber keine Aussage über
$\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ macht, stehe ich nun wieder hier.
Oder schätze ich am Anfang falsch ab?

04.09.2014, 11:36

Gurki

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Zitat:

Original von mathNoop
Da die Reihe divergent ist gegen den uneigentlichen Grenzwert $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$
habe ich nun das Minoranten-Kriterium angewand.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ muss divergent sein.

Quotientenkriterium zum Beweis dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent ist.

Da passt eigentlich nichts zusammen.

Zunächst mal willst Du mittels folgender, zu zeigender, Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{\sqrt{n^2-1}}\geq\sum_{n=2}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$

die Divergenz folgern.

Um die Minorante zu beweisen, musst Du also nur nachweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2-1}\leq n \end{eqnarray*}$

und das sollte machbar sein

Und um dann die Divergenz dieser Minorante zu zeigen, kannst Du Boardsuche oder Websuche mit den Stichworten 'Divergenz' und 'harmonische Reihe' füttern.

Das Quotientenkriterium kannst Du hier jedenfalls erden.

04.09.2014, 11:38

derdickederbande

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Vergleichskriterium
Hallo mathNoop.
Gegen die harmonische Reihe abschätzen ist genau die richtige Idee.
Es gilt natürlich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Du willst ja schließlich auch nach unten abschätzen, um die Divergenz der Reihe zu zeigen.

Naja, und die Konvergenz der harmonischen Reihe? Ich kann mir schwer vorstellen, dass das Teil der Aufgabe ist.
Das macht man für gewöhnlich in der Vorlesung. Schau mal in deinem Skript nach

04.09.2014, 12:51

mathNoop

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RE: Vergleichskriterium
Die harmonische Reihe divergiert wegen:

$\begin{eqnarray*} Sn = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sn = 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^k}+...+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sn =1+ \frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+ (\frac{1}{5}+...+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})+...+(\frac{1}{2^{k-1}+1}+...+\frac{1}{2^k})+...+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} > 1+\frac{1}{2}+2*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{8}+8*\frac{1}{16}+...+2^{k-1}*\frac{1}{2^k} = 1+ n* \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Folge {Sn} ist also nicht beschränkt und somit $\begin{eqnarray*} Sn = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1} } \end{eqnarray*}$ ist divergent mit $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

PS: Klar sollte nach unten abgeschätzt werden, war nur ein kleiner Tipp Fehler am anfang

04.09.2014, 13:27

derdickederbande

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Genau. Diesen Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe wirst du in jedem Skript oder Lehrbuch finden.
Deshalb würde ich fast drauf wetten, dass das nicht Teil der Aufgabe ist.

PS.: In der obersten Reihe sollte $\begin{eqnarray*} \lim S_n = \sum ... \end{eqnarray*}$ stehen

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