Funktion nach Differenzierbarkeit untersuchen

03.09.2014, 17:58

Doutzi

Funktion nach Differenzierbarkeit untersuchen

Meine Frage:
Hallo

Sitze gerade an einer Aufgabe und bin auf der Suche nach einem geeigneten Lösungsansatz. Die Aufgabe lautet:
Untersuchen sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach differenzierbarkeit:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt[3]{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss nicht wie vorgehen, da ich das zum ersten mal mache. Ich würde einfach mal die ersten partiellen Ableitungen der Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen. Nützt mir das was? Oder gibt es einen besseren Ansatz?

Danke für die Hilfe smile

04.09.2014, 09:55

Leopold

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Zitat:

Original von Doutzi
Ich würde einfach mal die ersten partiellen Ableitungen der Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Sinn!

1. Ist eine Funktion stetig partiell differenzierbar, so ist sie auch differenzierbar.
2. Ist eine Funktion differenzierbar, so ist sie auch partiell differenzierbar.

Mache eine Fallunterscheidung $\begin{align*} (x,y) \neq (0,0) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} (x,y) = (0,0) \end{align*}$ und verwende 1. bzw. die Kontraposition von 2.

05.09.2014, 08:55

Doutzi

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Also habs mal versucht, bin mir aber beim Vorgehen nicht sicher.

1. Fall: (x,y) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (0,0)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{x^2+y^2} }<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = \frac{2y}{3\sqrt[3]{x^2+y^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Wurzel ist differenzierbar $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Partielle Ableitungen differenzierbar und stetig in (x,y) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (0,0)

2. Fall: (x,y) = (0,0)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{(f(0,0) + t(1,0)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{t^2} }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{t} } = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{(f(0,0) + t(0,1)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(0,1)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{t^2} }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{t} } = \infty \end{eqnarray*}$

Also existiert die partielle Ableitung in Punkt (x,y) = (0,0) nicht, somit ist sie dort auch nicht stetig partiell differenzierbar, und f ist somit auch nicht differenzierbar.

06.09.2014, 14:13

Doutzi

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Wäre super, wenn jemand korrigieren/verbessern könnte smile

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