Lokale/globale Extremstellen unter Nebenbedingungen

03.09.2014, 21:48

Doutzi

Lokale/globale Extremstellen unter Nebenbedingungen

Meine Frage:
Hallo
Versuche gerade, folgende Aufgabe zu lösen:
a) Es sei
$\begin{eqnarray*} M = {{(x,y) \in \mathbb R^2: e^{x^2 + y^2} = 2}} \end{eqnarray*}$
Begründen Sie, warum M kompakt ist.

b) Es sei
$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R , g(x,y)= e^{x^2 - y^2} \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extremwerte sowie Sattelpunkte von g. Hat $\begin{eqnarray*} g|_{M} \end{eqnarray*}$ (also g unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ) ein globales Maximum? Falls ja, bestimmen Sie das Maximum.

Meine Ideen:
Ich habe bis jetzt folgendes gemacht:

a)Es gibt glaube ich einen Satz, der sagt, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ M kompakt ist, genau dann, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist. Jetzt habe ich versucht, diese beiden Sachen zu zeigen. Ich habe mich dabei an einem ähnlichen Beispiel orientiert, weiss aber nicht, ob dies korrekt ist. Bitte korrigieren falls nicht smile

Abgeschlossen: Die Menge M ist abgeschlossen, weil $\begin{eqnarray*} \partial M \in M \end{eqnarray*}$ (= Rand, und der Rand ist immer abgeschlossen).
Beschränkt: Die Menge ist beschränkt, weil: $\begin{eqnarray*} (x,y)\in M \rightarrow ||(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt{e^{x^2+y^2}} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} gradg = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2xe^{x^2 - y^2} \\ -2ye^{x^2 - y^2} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h., wenn x = 0 folgt y = 0. Also ist P(0,0) der einzige kritische Punkt.

$\begin{eqnarray*} Hf(x,y)=\begin{pmatrix} 2e^{x^2 - y^2} + 4x^2e^{x^2 - y^2} & -4xye^{x^2 - y^2} \\ -4xye^{x^2 - y^2} & -2e^{x^2 - y^2} + 4y^2e^{x^2 - y^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Hf(0,0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist das charakteristische Polynom:
$\begin{eqnarray*} (\lambda - 2)(\lambda + 2) \end{eqnarray*}$
Damit hat man einen positiven und einen negativen Eigenwert, was bedeutet, die Matrix ist indefinit. Somit hat man im Punkt (0,0) einen Sattelpunkt.

Was mir Probleme bereitet, ist nun die Aufgabe mit der Nebenbedingung. Wenn ich die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} h(x) := e^{x^2 + y^2} = 2 \end{eqnarray*}$ habe, gibt es doch eine Formel, die sagt:

grad g = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ grad h.

Aber wie mache ich jetzt weiter?

Vielen Dank für die Hilfe smile

03.09.2014, 22:27

sdfsadf

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Regularitätsbedingung überprüfen und danach Lagange Multipliaktor anwenden, sprich L_Lambda(vector(x))=f(x)+lambda(g(x), wobei f(x) deine Ausgangsfunktion ist und g(x) deine Nebenbedingung mit exp(x^2+y^2)-2. Diese Funktion ist deine sogenannte Lagrange Funktion

Gradienten bilden von Lagrange Funktion und Extrema bestimmen in dem du das Glechungssystem löst. Über dioe geränderte H-Matrix oder das Skalarprodukt <T,H_L,T> kannst du dann Aussagen über die Art der Extrema machen..

04.09.2014, 18:43

10001000Nick1

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RE: Lokale/globale Extremstellen unter Nebenbedingungen

Zitat:

Original von Doutzi
Abgeschlossen: Die Menge M ist abgeschlossen, weil $\begin{eqnarray*} \partial M \in M \end{eqnarray*}$

Das muss heißen $\begin{eqnarray*} \partial M\subseteq M \end{eqnarray*}$ . Und woher weißt du, dass das tatsächlich so ist? Bis jetzt hast du ja nur eine Behauptung aufgestellt.

Übrigens: Mengenklammern in LATEX kriegt man mit \{ bzw. \}. smile

04.09.2014, 23:12

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
grad g = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ grad h.

Ich frage mich, ob das nicht etwas übertrieben ist. Da M schlicht ein Kreis ist, findet man die symmetrischen Maxima mit y=0 fast schon vom Hinsehen und ausrechnen kann man das auch vergleichsweise leicht indem man die Bestimmungsgleichung von M in g einsetzt.

05.09.2014, 09:59

Doutzi

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Vielen Dank für die Antworten!

Zitat:

Das mit den Mengenklammern wusste ich nicht, danke smile

Ich glaube, in der Prüfung dürfen wir das so schreiben, aber ehrlich gesagt wüsste ich auch nicht, wie ich das korrekt begründe. Könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich $\begin{eqnarray*} \partial M\subseteq M \end{eqnarray*}$ zeigen kann?

Zitat:

Ich habe das mal probiert und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} L(\lambda ,x, y) = g(x,y) + \lambda h(x,y) = e^{x^2 - y^2} + \lambda (e^{x^2+y^2} - 2) = e^{x^2 - y^2} + \lambda e^{x^2+y^2} - 2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(L) = \begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2xe^{x^2-y^2} + 2x\lambda e^{x^2+ y^2}\\ -2ye^{x^2-y^2} + 2y\lambda e^{x^2+ y^2} \\ e^{x^2+y^2} -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2xe^{x^2-y^2} + 2x\lambda e^{x^2+ y^2} & = 0 \\ -2ye^{x^2-y^2} + 2y\lambda e^{x^2+ y^2} & = 0 \\ e^{x^2+y^2} -2 & = 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Folgerungen:
Aus der 3. Gleichung: $\begin{eqnarray*} \rightarrow e^{x^2+y^2} = 2 \rightarrow x^2 + y^2 = ln(2) \end{eqnarray*}$
Aus der 1. Gleichung: x_1 = 0
Aus der 2. Gleichung: y_2 = 0

Daraus folgen die folgenden Extremstellen:
$\begin{eqnarray*} P_1 = (0, \sqrt{ln(2)} , e^{2ln(2)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2 = (\sqrt{ln(2)}, 0, -1) \end{eqnarray*}$

Aber dies ergibt mir ja eine ziemlich aufwändige Hesse-Matrix... Die Aufgabe ist eine Prüfungsaufgabe vom letzten Jahr und gibt genau einen Punkt, somit denke ich, die Aufgabe müsste einfacher lösbar sein da für eine solche Rechnerei in der Prüfung gar keine Zeit bleibt.

Zitat:

Dies ist ja anscheinend eine einfachere Methode, aber ich verstehe nicht ganz, wie ich da vorgehen soll. Wie soll ich die Bestimmungsgleichung von M in g einsetzen?

05.09.2014, 14:01

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Doutzi
Ich glaube, in der Prüfung dürfen wir das so schreiben

Du meinst, ihr dürft $\begin{eqnarray*} \partial M\in M \end{eqnarray*}$ schreiben? Da bin ich mir aber ziemlich sicher, dass das nicht so ist, denn das ist falsch.

Du kennst bestimmt einen Satz, der besagt, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder abgeschlossen sind. Damit kannst du die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zeigen.

05.09.2014, 15:39

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
Wie soll ich die Bestimmungsgleichung von M in g einsetzen?

Die Bestimmungsgleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} e^{x^2+y^2} = 2 \end{eqnarray*}$

Gleichung (1)

bzw.

$\begin{eqnarray*} -y^2 = x^2 - \ln (2) \end{eqnarray*}$

Gleichung (2)

Das setzt Du in die Funktion g(x,y) ein und erhältst:

$\begin{eqnarray*} g= \frac{e^{2x^2}}{2} \end{eqnarray*}$

Gleichung (3)

(3) hat bei x=0 ein Minimum und bei $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{\ln(2)} \end{eqnarray*}$ das gesuchte Maximum.

Die zugehörigen y-Werte bekommt man mit (2).

Fertig smile

05.09.2014, 17:58

Doutzi

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Hallo Bernhard1

Vielen Dank! Bin schlussendlich auf das Selbe gekommen, aber dein Weg ist einiges kürzer als meiner, was definitiv besser ist für die Prüfung^^

Zitat:

Hallo 10001000Nick1
Entschuldige bitte, ich meinte natürlich nicht $\begin{eqnarray*} \partial M\in M \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \partial M\subseteq M \end{eqnarray*}$ . Ja der Satz ist mir bekannt, aber die Topologie ist so eine Sache für sich^^ ich verstehe zwar meistens, was gemeint ist, aber wenn es ums Beweisen geht, habe einige Schwierigkeiten.

Heisst das jetzt, weil die 2 eine abgeschlossene Menge in M ist und e eine stetige Abbildung ist, sind meine Urbilder (welche auch in M sind) auch abgeschlossen und darum ist die Menge M abgeschlossen? Oder wie wende ich den Satz zum Beweisen an? Bin etwas ratlos...

05.09.2014, 18:40

Bernhard1

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Zitat:

Original von Doutzi
was definitiv besser ist für die Prüfung^^

Da würde mich nebenbei der Typ der Prüfung interessieren. Differentialgeometrie? Antwort gerne auch als PN.

Zitat:

Bin etwas ratlos...

Beweise vielleicht besser, dass das Komplement R² \ M offen ist. EDIT: Oder Du zeigst, dass M der Rand der innenliegenden Kreisscheibe ist.

05.09.2014, 22:13

Doutzi

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Vielen Dank für eure Hilfe!

Leider bin ich gerade an der nächsten Aufgabe des gleichen Typs am scheitern... Sitze jetzt seit einer Stunde dran und bin noch nicht viel weiter, ich schaffe es einfach nicht, etwas schlaues hinzubekommen. Vielleicht könnt ihr mir ja nochmal helfen?

Die Aufgabe lautet folgendermassen:
a) Untersuchen Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach lokalen Extrema.

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = y^2 - \sqrt{3} xy \end{eqnarray*}$

Da habe ich nur den Punkt P=(0,0) gefunden, welcher ein Sattelpunkt ist)

b) Untersuchen Sie die Funktion in (a) nach lokalen Extrema unter der Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} M=\{(x,y) \in \mathbb R ^2 : \frac{1}{2} x^2 + y^2 = 3 \} \end{eqnarray*}$

Ich habe alles versucht, Lagrange, so wie es von Bernhard1 vorgeschlagen wurde, aber leider klappt gar nichts.

Bis jetzt habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} gradf = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}y \\ 2y -\sqrt{3}x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gradM = \begin{pmatrix} x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese habe ich komponentenweise gleich gesetzt und erhalte:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3}y = \lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y -\sqrt{3}x = \lambda 2y \end{eqnarray*}$

Und ab hier läuft nichts mehr...

06.09.2014, 00:49

Bernhard1

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Wenn man bei der neuen Aufgabe die Bestimmungsgleichung für M nach y auflöst und in f einsetzt, kann man y eliminieren und kann dann die neue Funktion nach x ableiten, um deren Extremalstellen zu bestimmen.

Die Methode mit dem Lagrange-Multiplikator ist dann zwingend, wenn man die Bestimmungsgleichung nicht nach y auflösen kann. In diesem Fall funktioniert diese Methode zudem gar nicht, weil die beiden Gleichungen in eine quadratische Gleichung für lambda umgeformt werden können und ein fester Wert für lambda steht im Widerspruch zur Nebenbedingung. (Sechster Edit Hammer

. Jetzt sollte es aber passen. Ich musste dazu auch erst Literatur wälzen)

07.09.2014, 08:58

Doutzi

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Vielen Dank für die Hilfe! smile

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