Grenzwert berechnen

05.09.2014, 13:08	bob87	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen Meine Frage: Hallo liebe Leute! und zwar habe ich folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{(-3)^{n} + 5^{n}}{(-3)^{n+1} + 5^{n+1}} \end{eqnarray}$ Laut Wolfram Alpha kommt für n -> +inf ...1/5 raus und für n -> -inf ...-1/3 raus Meine Ideen: Okay mein Ansatz ist: 1. Ich erweitere den Bruch(bzw jeden Summanden im Zähler und Nenner) mit 1 (in Form $\begin{eqnarray} \frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}} \end{eqnarray}$ 2. Dann wird mein erster Summand des Zähler, also die -3^n durch die erweiterung zu -3^0 =1. Der zweite Summdand ist dann 5^n -3^-n. Hier kann ich die -3^-n nun aber auch als 1/(-3^n) schreiben....der term strebt für unendlich gegen null also wird mein ganzer 2ter Summand 0 und im Zähler steht nur noch die 1. 3. Die Summanden im Nenner wurden ja ebenso mit $\begin{eqnarray} \frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}} \end{eqnarray}$ und dazu habe ich auch aus der -3^(n+1)=-3-3^n und 5^(n+1)=55^n. 4. Wieder gleiches Spiel: Erster Summand hebt sich durch die Erweiterung zu -3-3^0 auf =-31 =-3 ....der zweite Summand wird wieder null....als GW erhalte ich -1/3. DAS widerum ist laut Wolfram Alpha für -inf der Fall. Leider finde ich erstens nicht die Stelle an der es gerade relevant erscheint ob +inf oder -inf ... Meine zweite problematik ist: Wenn ich das ganze genau so durchspiele aber nicht mit -3^-n erweiter sondern mit 5^-n dann komm ich bei 1/5 raus. Aber sollte es nicht egal sein welchen Summanden ich erweitere?
05.09.2014, 13:46	Cengo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Bob87, zu 2. du hast dann $\begin{eqnarray} (\frac{-5}{3})^n \end{eqnarray}$ im Zähler stehen und im Nenner so ähnlich. Wenn du n jetzt gegen unendlich laufen lässt, kann es garnicht 0 werden. Du hast eine Zahl die betragsmäßig größer 1 ist (5/3 ~= 1.66666...) die geht für n gegen unendlich gegen + - unendlich. Wenn du aber n gegen -unendlich laufen lässt, dann geht es gegen 0. So würdest du als Ergnis $\begin{eqnarray} \frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ erhalten, wie Wolfram Alpha behauptet. Mach das Ganze jetzt mit $\begin{eqnarray} \frac{5^{-n}}{5^{-n}} \end{eqnarray}$ nochmal und sieh genau hin.
05.09.2014, 14:28	bob87	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jaaa....also erkenne da den Fehler bei $\begin{eqnarray} (\frac{-5}{3})^n \end{eqnarray}$ von mir aber dann hab ich jetzt trotzdem noch ein Problem Ich habe beide Varianten für x -> +unendlich versucht Variante1 (Erweiterung mit 5): Dann steht $\begin{eqnarray} (\frac{1+(\frac{-3}{5})^n} {5+(-3)(\frac{-3}{5})^n}) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} (\frac{-3}{5})^n \end{eqnarray}$ ---> ist <1 ..daher läuft der Term gegen 0 und ich komme zu meinem richtigen GW=1/5 Variante2 (Erweiterung mit -3): Dann steht $\begin{eqnarray} (\frac{1+(\frac{5}{-3})^n} {5+(-3)(\frac{5}{-3})^n}) \end{eqnarray}$ Wie komm ich denn von dieser Form auf meine 1/5...steh da gerade auf dem Schlauch
05.09.2014, 14:30	bob87	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, meinte bei dem unteren(Variante2) natürlich $\begin{eqnarray} (\frac{1+(\frac{-3}{5})^n} {(-3)+5(\frac{-3}{5})^n}) \end{eqnarray*}$
05.09.2014, 14:33	bob87	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry...muss mich mal anmelden ..editieren wäre einfacher Jetzt aber: $\begin{eqnarray} (\frac{1+(\frac{5}{-3})^n} {(-3)+5(\frac{5}{-3})^n}) \end{eqnarray*}$
05.09.2014, 14:46	Cengo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, also ich sehe es auch nicht, wie man da auf 1/5 kommt, wenn man n gegen + unendlich laufen lässt. Meist ist es doch so, dass man es so umformen muss, bis man was damit anfangen kann. Wenn du merkst, dass du nicht weiterkommst, versuchst du halt die andere Variante.
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05.09.2014, 19:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder um deutlich zu sagen, woran es hakt: (Zwischen-)Ziel der Umformungen muss es sein, in Zähler wie Nenner konvergente Ausdrücke zu haben, im Nenner zudem mit Grenzwert ungleich Null. Das ist bei $\begin{align} \frac{1+\left(\frac{-3}{5}\right)^n} {5+(-3)\cdot \left(\frac{-3}{5}\right)^n} \end{align}$ der Fall, da wegen $\begin{align} \left\| \frac{-3}{5} \right\| = \frac{3}{5} < 1 \end{align}$ ja $\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n = 0 \end{align}$ gilt, und man somit den Grenzwert des Bruches einfach bestimmen kann. Der Term $\begin{align} \frac{1+\left(\frac{5}{-3}\right)^n} {(-3)+5\left(\frac{5}{-3}\right)^n} \end{align}$ hingegen ist diesbezüglich nicht zu gebrauchen: Wegen $\begin{align} \left\| \frac{5}{-3} \right\| = \frac{5}{3} > 1 \end{align}$ ist $\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left\| \left(\frac{5}{-3}\right)^n \right\| = \infty \end{align}$ , d.h. in Zähler und Nenner stehen divergente Terme - sinnlos, da weiter zu wursteln. Es gilt die "dominanten" (= am schnellsten absolut wachsenden) Terme in Zähler wie Nenner aufzuspüren, und diese dann auszuklammern. Und das ist hier eben $\begin{align} 5^n \end{align}$ , nicht $\begin{align} (-3)^n \end{align*}$ .

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