Injektiv zeigen

06.09.2014, 05:28

Leschye

Injektiv zeigen

Ich hab enorme Probleme bei folgender Aufgabe
Man Zeige: X,Y Seien nicht leer und f:X->Y
f ist injektiv genau wenn $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle A,B Teilmenge von X

Sei z Element von f(A/B) dann existieren x Element von A/B sodass f(x)=z gilt

Betrachten wir f(a)/f(b) dann existieren y Element von A sodass f(y)=w und f(y) ist ungleich f(B)

Wir wissen w=z

d.h y ist auch element von A/B

ABER wie zeige man das y=x ist?

06.09.2014, 10:22

bijektion

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Deinen Beweisidee habe ich noch nicht wirklich verstanden.
Ist dir klar, dass du hier zwei Richtungen zeigen musst?

06.09.2014, 13:02

Leschye

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Meinst du mit 2 Richtungen folgendes?

$\begin{eqnarray*} f(A/B)=\{f(x):x \in A/B\}=\{f(x):x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$

D.h aus x Element von A/B folgt x ist Element von A

Damit ist A/B Teilmenge von A

Und jetzt muss ich folgern, dass A Teilmenge von A/B ist?

06.09.2014, 15:29

bijektion

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Mit den zwei Richtungen meine ich folgendes:
1) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ .
2) $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

06.09.2014, 16:06

Leschye

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Zitat:

Original von bijektion
Mit den zwei Richtungen meine ich folgendes:
1) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

für 1)
$\begin{eqnarray*} f(A/B)=\{f(x):x \in A/B\}=\{f(x):x\in A und x\notin B\}= \{f(x):x\in A\}/ \{f(x):x\notin B\} \end{eqnarray*}$ [ f is injektive] $\begin{eqnarray*} =f(A)/f(B) \end{eqnarray*}$ .

für 2)
keine idee

06.09.2014, 16:20

Stephan Kulla

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Bei der 1) musst du noch $\begin{eqnarray*} \{f(x):x\in A\text{ und }x\notin B\}= \{f(x):x\in A\}/ \{f(x):x\notin B\} \end{eqnarray*}$ genauer zeigen. Hier könnte dir helfen, dass zwei Mengen M und N genau dann gleich sind, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N\subseteq M \end{eqnarray*}$ ist.

Bei 2) Hier kannst du eine beliebige Form der Injektivität zeigen.

06.09.2014, 16:29

Leschye

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Zitat:

Original von Stephan Kulla

Bei 2) Hier kannst du eine beliebige [wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Abbildung#Anker:Injektivität]Form der Injektivität[/URL] zeigen.

Gut, ich versuch es folgendermaßen

f ist injektiv wenn für alle x1 und x2 gilt f(x1)=f(x2)->x1=x2

sei x1 Element von A/B und x2 Element von A
mit f(x1)=f(x2)
wir nehmen an dass x1 und x2 verschieden sind und führen dies zu ein Widerspruch

Mithilfe der Gleichung folgt
f(x1)=f(x2)/f(b)

-> x2 ist kein Element von f(b)

weiter weiß ich im Moment nicht

06.09.2014, 16:46

Stephan Kulla

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Deine Idee geht in die richtige Richtung (wobei ich sie leider nicht ganz verstehe, aber passt schon).

Welche Mengen hast du für A und B gewählt? (Beachte, dass du für Beweisrichtung 2) für A und B konkrete Mengen verwenden kannst)

06.09.2014, 17:07

Leschye

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Zitat:

Original von Stephan Kulla
Deine Idee geht in die richtige Richtung (wobei ich sie leider nicht ganz verstehe, aber passt schon).

Welche Mengen hast du für A und B gewählt? (Beachte, dass du für Beweisrichtung 2) für A und B konkrete Mengen verwenden kannst)

Liest das bitte durch:
1)fall
Sei x1 Element von A und betrachte B als eine beliebige Menge ohne x1

dann gilt f(x1)=f(x1)/f(b)
da die Gleichung ja gilt
können wir für b folgern dass kein Element von b auf f(x1) abbilden darf!
sonst wäre es ein Widerspruch zu Annahme

Die Menge B war beliebig also gibt es außer x1 keine weiteren Elemente die auf f(x1) abbilden

2)Fall
Sei x1 Element von A und betrachte B als eine beliebige Menge mit x1
dann ist die Annahme ist definiert?

06.09.2014, 18:28

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Leschye
Sei x1 Element von A und betrachte B als eine beliebige Menge ohne x1

dann gilt f(x1)=f(x1)/f(b)
da die Gleichung ja gilt
können wir für b folgern dass kein Element von b auf f(x1) abbilden darf!
sonst wäre es ein Widerspruch zu Annahme

Die Menge B war beliebig also gibt es außer x1 keine weiteren Elemente die auf f(x1) abbilden

Dies ist gut Augenzwinkern

Ich würde an deiner Stelle hier die konkreten Mengen $\begin{eqnarray*} A=\{x_1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\{x_2\} \end{eqnarray*}$ wählen. Führe für diese Mengen deine Argumentation analog durch und zeige, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch ergibt.

Zitat:

2)Fall
Sei x1 Element von A und betrachte B als eine beliebige Menge mit x1
dann ist die Annahme ist definiert?

Eine Fallunterscheidung brauchst du nicht zu führen. Du musst ja $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ beweisen. Nun ist der Fall $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ trivial (heißt für diesen Fall sieht man sofort, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ wahr ist). Es reicht also, wenn du nur den Fall $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ betrachtest.

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