Korrelationskoeffizient-Problem

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Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
Korrelationskoeffizient-Problem
Meine Frage:
Hallo

Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter, wäre sehr froh um Hilfe!

a) Sei unabhängige Zufallsvariablen mit identischer Varianz. Finde den Korrelationskoeffizienten zwischen:
i)
ii)

b) Unterstelle nun, dass die erzeugende Funktion der Zufallsvariablen Z mit Werten in in einer Umgebung von 1 identisch 1 ist. Was können Sie über Z ausssagen? (Hinweis: Betrachten Sie die Ableitung der Erzeugendenfunktion)



Meine Ideen:
Die halten sich relativ in Grenzen... Der Korrelationskoeffizient berechnet sich doch folgendermassen:



Für i) ergibt das:



Und für die Aufgabe ii)



Aber von hier aus komme ich irgendwie gar nicht mehr weiter. Wie kann ich
respektive so umformen, dass ich etwas damit anfangen kann?

Zu b) habe ich leider gar keine Ahnung, wie ich da beginnen soll.

Ich wäre wirklich sehr froh um einen Tipp! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kovarianz ist symmetrisch und bilinear, d.h. es ist

sowie

für reelles

.


Mit diesen Regeln kannst du dann unter zusätzlicher Beachtung von

für unabhängige , sowie



bei a) alles erledigen.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! a) hat jetzt geklappt (hoffe ich). Bei i) komme ich auf 0, bei ii) auf . Kann dies stimmen?

Wie muss ich bei b) vorgehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Doutzi
Bei i) komme ich auf 0, bei ii) auf . Kann dies stimmen?

Ja, ist richtig. Freude

Zu b): Stelle doch erstmal die erzeugende Funktion auf und befolge den Hinweis! (Was bedeutet es, wenn eine Potenzreihe auf einem ganzen Intervall gleich Null ist?)
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also die erzeugende Funktion für Z lautet:

.

Die Ableitungen (im Punkt 1) sind
.

Zitat:
Was bedeutet es, wenn eine Potenzreihe auf einem ganzen Intervall gleich Null ist?


Wieso ist die Potenzreihe auf dem ganzen Intervall gleich 0? Woran sieht man das?

Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht ganz was ich in der Aufgabe überhaupt machen muss.. Was bedeutet "dass die erzeugende Funktion der Zufallsvariablen Z mit Werten in in einer Umgebung von 1 identisch 1 ist"?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In dem offenen Intervall um die 1, wo die erzeugenden Funktion konstant gleich 1 ist, existiert auch deren Ableitung und ist dort gleich Null.

Aber es geht dann noch einfacher: Was bedeutet es denn für , wenn



(wirklich Z statt X, bei dir steht das falsch im Erwartungswert) gilt? Denk dran, kann nur Werte aus annehmen...
 
 
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, im Erwartungswert sollte natürlich Z stehen statt X.

Ist Z eine konstante Zufallsvariable wenn gilt E(Z) = 0?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert allein ist nicht der Grund. Und "konstant" ist richtig, aber welche Konstante?

Was soll ich noch sagen, ich hab doch alles schon genannt: Es ist , denn negative Werte kann laut Voraussetzung nicht annehmen, und außerdem ist . Was bedeutet das für die Verteilung von ?
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blicke immer noch nicht so ganz durch verwirrt

Ist Z standard-normalverteilt? Das ist die einzige Verteilung mit Erwartungswert = 0, die mir in den Sinn kommt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Angesichts der Voraussetzung

Zitat:
Original von Doutzi
Zufallsvariablen Z mit Werten in

sowie meiner letzten Ausführungen kann ich die Nachfrage

Zitat:
Original von Doutzi
Ist Z standard-normalverteilt?

nur als totales Desaster bezeichnen: Wie kann denn eine Zufallsgröße, die nur natürliche Zahlen annehmen kann, normalverteilt sein??? Finger1


Im übrigen hatte ich gar nicht die Antwort

Zitat:
Original von Doutzi
Ist Z eine konstante Zufallsvariable

verneint, sondern nur deren Begründung.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ups stimmt, da habe ich wohl gar nichts überlegt... Ich glaube, ich sehe langsam vor lauter Bäume den Wald nicht mehr^^

Wenn E(Z) = 0 ist, kann die Verteilung von Z nur den Wert 0 annehmen, oder? Damit wäre die Verteilung einfach konstant Null. Oder wie begründe ich es besser?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es - kann man exakt z.B. indirekt nachweisen: Angenommen, es gibt einen Wert mit , dann folgt

,

Widerspruch zu .
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