Extremalwertprobleme lösen |
| 06.09.2014, 11:02 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremalwertprobleme lösen Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100cm² ein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen sie, dass es keine weiteren Maxima gibt. Meine Ideen: Ich habe bisher keine Ansätze ausser,dass ich natürlich eine Extremalbedingung und Nebenbedingung aufstellen muss.. |
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| 06.09.2014, 11:08 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mache dir eine kleine Skizze und versuche die Haupt-(Extremal) und Nebenbedingung aufzustellen. Die Hauptbedingung dreht sich um das Volumen, die Nebenbedingung um die Oberfläche. |
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| 06.09.2014, 11:27 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
V=a*b*c O= 2*(a*b+b*c+a*c) Aber ich hab keine Ahnung weil die obere Fläche ja wegfällt, bin echt keine Leuchte in Mathe 
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| 06.09.2014, 11:37 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Karton besteht aus einer quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge a und vier umgebenden Flächen der Höhe h. Wie groß ist die Oberfläche damit in Abhängigkeit von a und h? |
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| 06.09.2014, 11:44 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
2a²+4ah? |
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| 06.09.2014, 11:48 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das ist ein wenig zuviel, denn der Karton soll ja oben offen sein. Wenn du das angepasst hast, musst du die 100cm² ins Spiel bringen. @Bernhard1: magst du weitermachen? |
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| 06.09.2014, 11:50 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gerne. |
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| 06.09.2014, 11:56 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nicht ganz. Die Aufgabe ist allerdings auch etwas mißverständlich. Ich gebe die Oberfläche deswegen mal wie folgt vor. Man hat eine Grundfläche mit a² und die vier umgebenden Flächen mit a*h, macht zusammen a² + 4ah. Die Oberfläche sollte dann das doppelte davon sein, also 2a² + 8ah. Wie groß ist das Volumen in Abhängigkeit von a und h? Wie packt man die Nebenbedingung in eine passende Formel? Tipp: Rechne alles in cm und lasse die Einheiten dann in den Formeln weg. |
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| 06.09.2014, 12:04 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann muss ich doch nochmal einhaken.
Nein. Die Oberfläche ist lediglich a²+4ah. Es geht bei solchen Aufgaben nur um das "Äußere" des Kartons. |
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| 06.09.2014, 12:08 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK. Danke 
. Damit wäre dann MF wieder dran. |
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| 06.09.2014, 13:10 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also ist die Oberfläche a²+4ah? Und das Volumen ist dann a²*h? |
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| 06.09.2014, 13:33 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau. Wie geht es jetzt Deiner Meinung nach weiter? Tipp: Eliminiere h. (a ginge auch, aber schneller geht es mit h) |
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| 06.09.2014, 13:47 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich habe 100cm²=a²+4ah nach h aufgelöst und habe 20cm²=h rausbekommen, irgendwie mach ich was falsch
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| 06.09.2014, 13:52 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schreibe bitte auf, wie du auf die 20cm² kommst. EDIT: Tipp: h sollte hier noch von a abhängen. Durch Umformen der Gleichung für die Oberfläche wirst du das a also noch nicht los. Das sollte dich aber nicht weiter irritieren. |
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| 06.09.2014, 14:03 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso, ja hatte eine komische Rechnung habe jetzt: O=100cm²=a²+4ah /-a² 100cm²-a² = 4ah / (:4a) 25/a cm² - 1/4a = h ist das so richtig? |
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| 06.09.2014, 14:11 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Yep. Passt soweit 
.Jetzt kannst Du damit das Volumen ohne die h-Abhängigkeit ausrechnen. |
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| 06.09.2014, 14:19 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut, dann habe ich die Nebenbedinung in die Extremalbedinung also: V=a²*h V(a)= a²*(25/a cm²- a/4) ausgerechnet: V(a) = -1/4a³+25a Ableitung: V'(a)= -0,75a²+25 Dann muss ich ja die Ableitung = 0 setzen und da kam bei mir a²=33,3 raus
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| 06.09.2014, 14:28 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Passt doch. Du hast lediglich die Einheit weggelassen. Mit Einheit bekommst Du a²=33,333... cm² Jetzt schaffst Du auch a und h. |
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| 06.09.2014, 14:32 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dankeschön
Aber ich habe ja a²= 33,33..cm, wie komme ich auf nur das a? ich kann ja nicht :2 rechnen
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| 06.09.2014, 14:36 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ziehe die Quadratwurzel. Die Wurzel aus cm² ergibt dann auch die richtige Einheit, d.h. cm. |
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| 06.09.2014, 14:43 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt, total vergessen
also a=5,77cm dann in die 2. ableitung = 0 kommt -8,6 raus Und dann 5,77cm in die normalform h=33,29 Ich finde die Lösung ist komisch
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| 06.09.2014, 14:53 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Passt.
Wozu soll das gut sein?
Prüfe mal nach, ob Du damit auf eine Oberfläche von 100 cm² kommst. |
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| 06.09.2014, 15:01 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Keine Ahnung also wir haben im Unterricht bei der Extremwertproblem bestimmung um das Maximum zu berechnen Die 1 Ableitung = 0 gesetzt und in diesem Fall a=5,77 in die 2 Ableitung und in die Normalform gesetzt (notwendige Bedingung + hinreichende Bedinung) Ich habe ja jetzt h und a raus, das wären doch dann die Längen die ich ausrechnen sollte oder?! Bin grad total durcheinander 
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| 06.09.2014, 15:17 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Aufgabe ist fast gelöst. Allerdings ist der von Dir angegebene Wert für h noch falsch. Du kannst deshalb die selbst berechneten Werte für a und h dazu benutzen, mit der oben angegebenen Formel die Oberfläche des Kartons auszurechnen. Wenn man alles richtig gemacht hat, müssen dabei dann doch wieder die 100cm² herauskommen. Der Wert der zweiten Ableitung von -8,6 ist korrekt. Er zeigt dir, dass es sich bei dem berechneten Extremum für das Volumen auch tatsächlich um ein Maximum handelt. Die zweite Ableitung muss dabei übrigens nicht gleich Null gesetzt werden. Das macht man nur, wenn man Wendepunkte sucht. Mit Normalform weiß ich nicht genau, was gemeint ist. |
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| 06.09.2014, 15:33 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
h ist ja gleich = 25/a cm² - 1/4a und a = 5,77 soll ich das dann in O=a²+4ah setzen?
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| 06.09.2014, 15:37 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann schauen wir uns das mal im Detail an. Du hattest ja oben bereits die richtige Formel für h gefunden: h = (25cm²) / a - a/4 Du musst jetzt in diese Formel lediglich a = 5,77 cm einsetzen. Mehr ist hier nicht zu tun. |
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| 06.09.2014, 16:12 | Matheflopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach Stimmt, ok vielen Dank für deine Hilfe
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