Hilbertraum, kompakter Operator

06.09.2014, 21:03

Wombat91

Hilbertraum, kompakter Operator

Hallo

Ich hätte eine dringende Frage bzgl. kompakten Operatoren in der Funktionalanalysis.
Wir hatten eine Übung, da stand K sei ein hermitscher kompakter Operator auf einem separablen Hilbertraum, ich sollte dann zeigen, dass |K| ebenfalls ein kompakter Operator ist.
In der Lösung steht dann, man schreibe K im Sinne des Funktionalkalküls, also $\begin{eqnarray*} K=\sum_n \lambda_n P_n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, da K kompakt ist und insbesondere $\begin{eqnarray*} |\lambda_n| \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, womit |K| kompakt wäre.
Meine Fragen hierzu:
1) Wieso besitzt dieser obige Hilbertraum eine orthonormale Basis von Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ , K ist ja nicht selbstadjungiert, oder doch?
2) Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} |\lambda_n|\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , dass |K| kompakt ist?

Ich wäre sehr froh um eine baldige Antwort. Besten Dank schon jetzt!

06.09.2014, 21:21

Che Netzer

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RE: Hilbertraum, kompakter Operator

Zitat:

Original von Wombat91
1) Wieso besitzt dieser obige Hilbertraum eine orthonormale Basis von Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung liefert doch der Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Zitat:

K ist ja nicht selbstadjungiert, oder doch?

Was versteht ihr denn unter einem hermiteschen Operator...?

Zitat:

2) Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} |\lambda_n|\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , dass |K| kompakt ist?

Falls ihr dazu noch keine allgemeine Theorie habt, könntest du $\begin{eqnarray*} \lvert K\rvert \end{eqnarray*}$ damit als Grenzwert von endlichdimensionalen Operatoren darstellen.

06.09.2014, 21:35

Wombat91

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RE: Hilbertraum, kompakter Operator
Besten Dank für deine Antwort.
Ah doof von mir... Hammer

Natürlich sind hermitsche Operatoren selbstadjungiert...1) ist jetzt klar.

zu 2)
Du meinst also, dass man $\begin{eqnarray*} |K| \end{eqnarray*}$ annähern kann durch die Folge mit den Gliedern
$\begin{eqnarray*} L_m=\sum_{1\leq n\leq m} |\lambda_n| P_n \end{eqnarray*}$ , die kompakt sind, da endlich dimensional.
Dann würde $\begin{eqnarray*} L_m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen |K| konvergieren und somit wäre es ein kompakter Operator als limes von kompakten Operatoren, stimmt diese Argumentation?

06.09.2014, 21:46

Che Netzer

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RE: Hilbertraum, kompakter Operator
Ja, mit $\begin{eqnarray*} \bigl\lVert L_m-\lvert K\rvert\bigr\rVert^2=\sup_{n>m}\lvert\lambda_n\rvert^2 \end{eqnarray*}$ funktioniert das.

06.09.2014, 21:48

Wombat91

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RE: Hilbertraum, kompakter Operator
Super, besten Dank!!! Freude

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