Geradengleichung im Raum mit Bedingung

07.09.2014, 12:10

mathegene

Geradengleichung im Raum mit Bedingung

Ein Dreieck ist mit folgenden Punkten gegeben:

A (2/4/-1), B (-4/-1/3) und C(2/-3/-1)

a.) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch C geht und auf AB senkrecht steht:

R:

g:x=(2/-3/-1)+r*(MABC)

NR: MAB=M(B-A)=M [(-4/-1/3)-(2/4/-1)]=MAB(-6/-5/4)
MABC=C-MAB= (2/-3/1)-(-6/-5/4)=(8/7/-3)

g:x=(2/-3/-1)+r*(8/7/-3)

Stimmt die Gleichung so. Die Richtung geht doch durch C.

Ich habe auch an das Kreuprodukt gedacht aber brauche ich das hier.

MFG

07.09.2014, 13:00

Mi_cha

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deine Gerade g steht nicht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ .

Welche Beziehung muss zwischen dem Richtungsvekttor von g und dem Vektor \vec{AB} gelten?

07.09.2014, 13:51

mathegene

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Ich habe auch schon das Kreuzprodukt con der Seite a und der Seite b gemacht. Dann wäre die Gerade
senkrecht auf AB und ginge durch C. Wenn ich das Kreuzprodukt raus bekomme, habe ich doch den Richtungsvektor der Geraden ?!

A (2/4/-1) , B (-4/-1/3) und C(2/-3/-1)

b........C-A.....(2/-3/-1)-(2/4/-1)= (0/-7/0)
a........C-B.....(2/-3/-1)-(-4/-1/3)= (6/-2/-4)

a x b....

(-7*-4)-(0*-2) 28
(0*6)-(0*-4) = 0
(0*-2)-(-7*-2) 14

Jetzt habe ich einen Vektor der Senkrecht durch C läuft und normal auf AB steht oder?
Nun weiß aber nicht ob ich den so stehen lassen kann?
m Lösungsbuch kommt sowieso was anderes raus...............(-7,5/13/6).

Ich komm da nicht hin.

Nochmals zu deiner Frage "Welche Beziehung muss zwischen dem Richtungsvekttor von g und dem Vektor \vec{AB} gelten?"...

Die Gerade muss senkrecht auf AB stehen....Im Raum.....da komme ich mit dem Vektorprodukt hin?

MFG

07.09.2014, 14:27

mathegene

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Kreuzprodukt der falsche weg
Nein ich glaub das geht anders den meine gerade steht ja nicht senkrecht auf AB.
Werde schon noch draufkommen.

MFG

07.09.2014, 14:28

Bürgi

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Guten Tag,
Vetrauen ist gut, Kontrolle ... etc

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn der Vektor aus der Lösung orthogonal zu diesem Vektor sein soll, dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7,5 \\ 13 \\ 6 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
... und genau das stimmt nicht!

EDIT: Nachtrag: Der richtige Lösungsvektor ist $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix}-15 \\ 26 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.09.2014, 17:10

mathegene

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Kann nicht mehr-mehr sagen...
Also die x1 Koordinate vom Normalvektor bekomme ich mit dem Skalarprodukt von a und b.

Was soll ich jetzt machen, dass ich x2 und x3 bekomme.
Ich müsste den Vektor ja um den Betrag von AC verschieben oder?

MFG

07.09.2014, 17:28

Bürgi

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RE: Kann nicht mehr-mehr sagen...
Hallo,

ich habe einen anderen Lösungsweg benutzt, den ich Dir hier kurz vorstellen möchte:

Zitat:

a.) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch C geht und auf AB senkrecht steht:

1. Im Aufgabentext ist von AB die Rede. Damit ist aber die Gerade durch A und B gemeint, nicht der Vektor.

2. Ich habe die Gleichung einer Ebene aufgestellt, deren Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n = \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ist und die C enthält:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}(\vec x - \vec c)=0 \end{eqnarray*}$

[attach]35292[/attach]

3. Diese Ebene wird mit der Geraden AB geschnitten, was mir den Punkt auf AB liefert, der mit C eine Gerade erzeugt, die senkrecht auf AB steht und durch C läuft.

08.09.2014, 03:45

mathegene

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Zu weit weg
Ja Danke für den Hinweis bzw. deinen Lösungsweg.
Nur habe ich noch keine Ebenen durchgemacht und bezweifle deshalb auch, dass die Hilfsebene aufstellen muss.

Das Kapitel in dem die Frage gestellt wird ist "Orthogonale Projektion von Punkten und Geraden auf eine Koordinatenebene.

Ich arbeite weiter daran aber vorerst gehe ich arbeiten, bis ´dann.

MFG

08.09.2014, 07:27

Bürgi

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RE: Zu weit weg
Guten Morgen,

ich habe gesehen, dass Du zur Lösung der Aufgabe das Skalarprodukt einsetzen wolltest. Das geht hier auch:

1. Alle Punkte auf AB können berechnet werden durch:

$\begin{eqnarray*} (AB): \vec x = \begin{pmatrix}2\\4\\-1 \end{pmatrix}+r \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix}}_{= \overrightarrow{AB}} \end{eqnarray*}$

2. Bestimme den Vektor von einem beliebigen Geradenpunkt zu Punkt C: Ich nenne ihn hier $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ .

3. Dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} \vec v \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \end{eqnarray*}$
Berechne r.

08.09.2014, 16:01

mathegene

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Zwar nicht dein Ergebnis aber ich denke nachvollziehbar
Hallo!

Also ich will einmal den Mittelpunkt der Strecke AB nehmen. Dan rechne ich MABC aus und erhalte mein v ?

MAB=AB/2........(-3/-2,5/2)
v...........MABC=C-MAB= (2/-3/1)-(3/-2,5/2)=(-1/-0,5/-1)

v x AB=(-6/-5/4)x(-10/5/10) 0 OK

nv=(-10/5/10)

R: (2/-3/1)+v(-10/5/10)=(2/4/-1)+r(-6/-5/4)
C nv (MABC) A AB

1.) 2-10v=2-6r
2.) -3+5v=-1+4r
3.) 1+10v=-1+4r
-------------------------
1+3..4.)
4.) 3=1-2r/+2r/-3
2r=-2 /:2
r=-1
r in 1.) 2-10v=2+6 /+10v/-8
-6=10v /:10
v=-0,6

g:x=(2/-3/-1)+r*(-10/5/10)

Jetzt setze ich mein r und v in die Geradengleichung ein........und lasse das r noch stehen?!

g:x=(2/-3/-1)+r*(10/-5/-10)

Das müsste es doch sein oder.

Anderer Vorschlag:

Meinen Normalvektor von ABxMABC=(-10/5/10) als Richtungsvektor eingesetzt............

g:x=(2/4/-1)+r(-10/5/10)

r1=-10/6=-1,6, r2=5/5=1, r3=-10/4=-2,5 nachdem ich die 3 Gleichungen aus
der Geradengleichung NULL gesetzt habe.

g:x= (2/4/-1)+(-10*-1,6/5*1/10*-2,5)
g:x= (2/4/-1)+v(16/5/-25)

Ich bin dankbar für jede Antwort, MFG.

08.09.2014, 20:42

Bürgi

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RE: Zwar nicht dein Ergebnis aber ich denke nachvollziehbar
Guten Abend,

da hast Du Dir aber einen Haufen Arbeit gemacht...
Allerdings sieht es für mich im Augenblick so aus, als ob Du irgendwie den Überblick verloren hast.

Hier mein Lösungsweg:
1. Jeder beliebige Punkt X auf AB hat den Ortsvektor

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix}2\\4\\-1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XC} = \vec v \end{eqnarray*}$ wäre dann

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XC} = \vec c - \vec x= \begin{pmatrix}2\\-3\\-1 \end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix}2\\4\\-1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix}0\\-7\\0 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{XC} = 0 \end{eqnarray*}$ (Senkrechtenbedingung)
d.h.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\-7\\0 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \right)=0 \end{eqnarray*}$

4. Multipliziere aus und berechne r.

5. Setze r bei 2. ein und vereinfache!

09.09.2014, 15:33

mathegene

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Komme schon näher an das Ziel....
Hallo!

@2. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XC} = \vec v \end{eqnarray*}$ wäre dann

1. 0+6v=0 /r=0
2. -7+5r=0 /r=1,4
3.0-4r=0 /r=0

Nun habe ich mein r mit 1,4 berechnet...(warum setze ich nicht r1 in die x-Spalte-r2 in die y-Spalte und r3 in die z-Spalte ein..):

AB=(-6/5/4)

R:
-6*1,4=-8,4
5*1,4=7
4*1,4=5,6

Probe:

(-6/5/4)x(-8,4/7/5,6)=0 OK

C(2/-3/-1)

g:x=(2/-3/-1)+r(-8,4/7/5,6)

Passt oder ?

MFG

09.09.2014, 17:37

Bürgi

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RE: Komme schon näher an das Ziel....
Hallo,
um die letzte Frage zuerst zu beantworten: Nein.

1. Deine Vektor AB ist falsch (Vorzeichenfehler)

2. Ich hatte Dir diese Gleichung gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\-7\\0 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} \right)=0 \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert wird daraus:

$\begin{eqnarray*} 35-77r=0~\implies~r = \frac5{11} \end{eqnarray*}$

Wenn Du diesen Wert einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XC} = \begin{pmatrix}0\\-7\\0 \end{pmatrix} - \left( \frac5{11} \right) \cdot \begin{pmatrix}-6\\-5\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{30}{11} \\ - \tfrac{52}{11} \\ -\tfrac{20}{11} \end{pmatrix}=-\frac2{11} \cdot \begin{pmatrix}-15\\26\\10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... und der letzte Vektor ist der (richtige!) Lösungsvektor.

10.09.2014, 03:19

mathegene

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Ja stimmt, bin zu spät drauf gekommen, sorry.
Hallo!

Kannst Du mir eine Quelle nennen wo ich das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt etwas üben kann? (MIt Geraden im Raum dgl).

Besten Dank, MFG.

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