Koordinaten- und Ebenengleichung aus drei Punkten

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Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten- und Ebenengleichung aus drei Punkten
Ich habe die Punkte A(1I1I1), B(1I0I1)C(0I1I1) und soll nun die Koordinatengleichung bestimmen.

Bislang habe ich:
LGS: a+b+c=d
a+c=d
b+c=d

Nun habe ich für d=1 eingesetzt, da d ja frei wählbar ist.
a+b+c=1
a+c=1
b+c=1

Nun verstehe ich nicht, wie man hier weiter umformt um zu einer Koordinatengleichung zu gelangen. Bereits die Umformung im Beispiel war mir unklar...

Kann mir vielleicht jemand hier weiterhelfen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest jetzt z.B. in den beiden Gleichungen a+c=1 und b+c=1 sowohl a als auch b durch c ausdrücken und diese beiden Terme dann in a+b+c=1 einsetzen.

Bei dieser Aufgabe brauchst du das alles jedoch eigentlich gar nicht tun, denn die 3 Punkte A,B und C haben etwas Entscheidendes gemeinsam, wodurch sich im Prinzip direkt eine passende Koordinatengleichung ergibt.
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

a+b+c=1
a+c=1
b+c=1


a+b+c=1
a+c=1
c=1-b


a+b+c=1
a+c=1
c=1-b


a+b+c=1
a=1-1+b
c=1-b

a+b+c=1

a+a+1-a=1
a=b
c=1-b

a=0
b=0
c=1

Also lautet die Koordinatengleichung: E: x=c ???
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ergebnisse für a,b und c sind korrekt.
Richtig eingesetzt hast du das aber leider nicht in E: ax+by+cz=d.
Also noch ein Versuch. Augenzwinkern
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

1z=d oder 1z=1 ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da du d=1 oben gewählt hattest, gilt also E: z=1
Ist dir klar, warum das eigentlich auch schon direkt bei den Punkten A(1 | 1 | 1), B(1|0|1) und C(0|1|1) ersichtlich ist ?
 
 
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

Z=1, da alle Punkte auf der Höhe 1 (bzw. selbe Höhe) liegen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun bin ich beim Normalenvektor.
Ich habe die Vektoren AB= (0I-1I0) und AC (-1I0I0) ausgerechnet.
Nun muss jeder der beiden Vektoren mit dem Normalenvektor 0 ergeben. Also n*AB=0
und n*AC=0

0*n1+(-1)*n2+0*n3=0
(-1)n1+0*n2+0*n3=0

n1=0
n2=0

Wie erhalte ich nun n3? Ist n3 vielleicht beliebig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich darauf überhaupt eingehe:

Du bist doch bereits fertig. Der bzw. ein Normalenvektor entspricht doch bereits den Faktoren a,b und c vor den Koordinaten x,y und z in der Ebenengleichung. verwirrt
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde gerne nochmal den Weg von den drei Punkten zur Normalengleichung gehen, da ich nicht immer erst ein LGS und eine Koordinatenform machen möchte. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also einfach mal mehrere Wege austesten.

Zitat:
Wie erhalte ich nun n3? Ist n3 vielleicht beliebig?


Genau. (jedenfalls so gut wie beliebig Augenzwinkern )
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

Lautet die Normalengleichung dann (-1I-2I1)*(0I0In3)+(-2I-1I-1)*(0I0In3) =0?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja irgendwas musst du dann ja schon für n3 einsetzen.
Und die Normalengleichung lautet allgemein:

, wobei P einem beliebigen Punkt der Ebene entspricht.
Für den Vektor in der Gleichung wird nichts eingesetzt.
Und "ausmultiplizieren" musst du da eigentlich auch gar nicht, denn dann hast du ja direkt eine Koordinatengleichung - oder war das dein Ziel ?
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

Also (x-(1I1I1)*(0I0I1)=0?
Wie mache ich denn dann deutlich, dass z im Normalenvektor beliebig ist?

Ich habe jetzt geschaut, ob der Punkt (-7I1I3) in dieser Ebene liegt.
a3=1
3=1
Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

Wenn ich jedoch für d vorhin 3 eingesätzt hätte, läge der Punkt doch auf der Gerade??? Ich verstehe jetzt nicht, was diese Punktprobe soll
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also (x-(1I1I1)*(0I0I1)=0?


Ja. Magst du denn evtl den Formeleditor benutzen ? Dieser ist auch recht kindgerecht insofern, als dass die gängigen Formeln schon direkt vorgegeben sind.

Zitat:
Wie mache ich denn dann deutlich, dass z im Normalenvektor beliebig ist?


Brauchst du ja nicht, denn letztendlich interessiert nur einer von stets unendlich vielen, möglichen Normalenvektoren (welche sich dann nur in der Länge, nicht aber in der Richtung unterscheiden).

Zitat:
Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.


Ebene. Augenzwinkern

Zitat:
Wenn ich jedoch für d vorhin 3 eingesetzt hätte,


dann hätten sich ggf. auch die Werte für a,b und c geändert.
Rise53 Auf diesen Beitrag antworten »

LGS
-1a+2b=1
-3a+1b+1c=1
1a-1b-1c=1

a=-1+2b
c=1+3a-b
1a-1b-1c=1

a=-1+2t
c=1+3a-t
-2+2t-t-1c=1

a=-1+2t
c=1-3+6t
-1+2t-t+1-3a+t=1

a=-1+2t
c=-1-3+6t
2t=1+3a

a=-1+2t
c=-1-3+6t
t=0,5+1,5a

a=-1+2*(0,5+1,5a)
c=-1-3+6t
t=0,5+1,5a

-2a=2
c=-1-3+6t
t=0,5+1,5a

a=-1
c=1-3t
t=-1

a=-1
c=-5
b=1


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