Konvergenzraduis Randpunkte Verständnisfrage

07.09.2014, 16:49

Ck247

Konvergenzraduis Randpunkte Verständnisfrage

Hallo
sitzte hier vor einer Aufgabe und versuche mir die Sache mit dem Konvergenzradius in den Randpunkten beizubringen:

Reihe: (-1)^k * (2k + k) * x^k

Das Konvergenzintervall ist -0.5<x<0.5 (mit Wurzelkriterium). Wenn < zu <= werden soll, müssen ja die Reihen konvergieren wenn man für x die Randpunkte einsetzt. Für -0.5 zB wird die Reihe dann umgeformt zu ((2^k)+k)/2^k.
Nun kommt meine Frage, denn ich glaube ich habe hier was falsch Verstanden: die Lösung gibt an, dass die Reihengleider keine Nullfolge bilden und somit divergent sind (macht Sinn). Wenn ich jedoch 2^k da rausziehe und k gegen unendlich laufen lasse komme ich auf 1 als Grenzwert. Und das bedeutet Konvergenz (macht auch Sinn).
Wo liegt mein Denkfehler? Hat das was mit dem alternierenden Faktor (-1)^k zu tun?

07.09.2014, 18:15

Stephan Kulla

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RE: Konvergenzraduis Randpunkte Verständnisfrage
Du verwechselst Konvergenz der Reihe, also den Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ , mit Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ .

Während der Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{2^k + k}{2^k} \end{eqnarray*}$ nicht existiert, kann der Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2^k + k}{2^k} \end{eqnarray*}$ schon existieren. Insbesondere ist das nach dem Nullfolgenkriterium immer dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow \infty} a_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, was hier wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2^k + k}{2^k}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

07.09.2014, 19:38

Ck247

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Ah danke. Also muss man dann die Konvergenz der Reihe prüfen und nicht die der Folge?
Dann war das bei meiner Lösung wohl so dass man hier die Folge geprüft hat weil Nullfolge ein Teil des Leibnizkriteriums für die Reihe war (neben monoton fallend), mein Beispiel war hatte ja mit (-1)^k ein alternierenden Teil.

07.09.2014, 19:44

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Ck247
Ah danke. Also muss man dann die Konvergenz der Reihe prüfen und nicht die der Folge?

Richtig.

Zitat:

Dann war das bei meiner Lösung wohl so dass man hier die Folge geprüft hat weil Nullfolge ein Teil des Leibnizkriteriums für die Reihe war (neben monoton fallend), mein Beispiel war hatte ja mit (-1)^k ein alternierenden Teil.

Genau

07.09.2014, 19:51

Ck247

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Super ich danke dir smile

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