Quaternionengruppe: Kommutatoruntergruppe und Zentrum berechnen

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Quaternionengruppe: Kommutatoruntergruppe und Zentrum berechnen
Hallo zusammen,
ich möchte das Zentrum und die Kommutatoruntergruppe der Quaternionengruppe berechnen.

Ich habe als Kommutatoruntergruppe . Ist das richtig? Beim Zentrum bin ich mir noch nicht sicher.

zur Begründung:
zur Kommutatoruntergruppe :
Ich weiß, dass gilt . Es sind alle fünf Untergruppen der Q8 Normalteiler. Der kleinste Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe ist die Untergruppe . Es gilt nämlich und die Kleinsche Vierergruppe ist abelsch.

edit: der einzige kleinere Normalteiler ist die triviale Gruppe und die Faktorgruppe von Q8 nach der trivialen Gruppe ist gerade Q8 selbst, welche nicht abelsch ist.

zum Zentrum: Im Zentrum liegen alle Elemente der Quaternionengruppe, die mit allen anderen vertauschen. Es liegt also auf jeden Fall die 1 im Zentrum. Gibt es eine Möglichkeit, die anderen Elemente im Zentrum zu berechnen, ohne explizit jedes Element auf jedes andere von rechts und von links anzuwenden? Das dauert doch eine ganze Weile.

Ich weiß theoretisch, wie ich das Zentrum auf die eben beschriebene Weise berechne - würde mich also auch freuen, wenn mir jemand sagt, was rauskommt, da das Ergebnis für mich wichtig ist, um weiterrechnen zu können. Augenzwinkern

lg Duude
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Eine nicht-abelsche Gruppe mit p^3 Elementen hat immer ein Zentrum mit p Elementen. Also hat das Zentrum hier 2 Elemente. Somit weißt du auch was rauskommt Augenzwinkern
 
 
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, tmo.

Ich habe mittlerweile auch eine Verknüpfungstafel der Gruppe gefunden, an der man direkt ablesen kann, dass im Zentrum nur die 1 und die -1 liegen. Das deckt sich mit deiner Aussage.

Habe ich die Kommutatoruntergruppe auch richtig berechnet?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Da offenbar jeder nichttriviale Quotient höchstens 4 Elemente hat, also abelsch ist, ist die Kommutatoruntergruppe zwangsläufig der kleinste Normalteiler, also .
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke smile
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