Gleichmäßige Konvergenz - Frage zur Musterlösung

08.09.2014, 12:22

barghest

Gleichmäßige Konvergenz - Frage zur Musterlösung

Hallo,

Vorab: Ich weiß, dass es hier im Forum schon einige Themen zur gleichmäßigen Konvergenz gibt, diese haben mir aber beim Verständnis der Aufgabe leider nicht weitergeholfen.

Wie der Titel schon ahnen lässt, geht es nicht direkt um das Lösen der Aufgabe, sondern um das Verstehen der Musterlösung, um dieses "Schema" dann selbst anwenden zu können. Die grundsätzliche Beweistechnik mit $\begin{eqnarray*} \text{sup} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[]{n \to \infty} 0 \end{eqnarray*}$ , um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, ist mir noch nicht so ganz klar.

Gegeben ist die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) := (x + |x|)^n, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Die Grenzfunktion lautet
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0\mbox{, falls } x < \frac{1}{2}\\ 1\mbox{, falls } x = \frac{1}{2}\\ \end{cases}, D_f = (-\infty, \frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$

Die Fragestellung lautet nun:

Gilt $\begin{eqnarray*} (f_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} f \end{eqnarray*}$ auf

a)
$\begin{eqnarray*} [0, \frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} (0, \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
c)
$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$ .

Zu a) und b) heißt es jeweils, $\begin{eqnarray*} \text{sup} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[]{n \to \infty} 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht glm. konvergent.
Zur c) heißt es $\begin{eqnarray*} \text{sup} |f_n(x) - f(x)| = f_n(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^n \xrightarrow[]{n \to \infty} 0 \end{eqnarray*}$ und damit glm. konvergent auf $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$ .

Leider ist in der Musterlösung nicht näher erläutert, wie mann denn überhaupt auf diese Werte für das Supremum kommt, bzw. welche Werte in $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden, um auf diese Werte zu kommen. Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte, diesen Schritt bzw. diese Schritte zu verstehen.

Die letztendliche Folgerung auf glm./ nicht glm. konvergent ist mir dann wieder klar.

08.09.2014, 13:24

Stephan Kulla

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RE: Gleichmäßige Konvergenz - Frage zur Musterlösung
Mit $\begin{eqnarray*} \sup|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sup\{f_n(x)-f(x): x\in D\} \end{eqnarray*}$ gemeint, wobei D der gemeinsame Definitionsbereich von f_n und f ist.

Hilft dir die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sup\{f_n(x)-f(x): x\in D\} \end{eqnarray*}$ weiter?

08.09.2014, 13:50

barghest

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Hallo Stephan,

Danke für deine Antwort. Ja, es werden ja die in a) - c) genannten Definitionsbereiche verwendet?
Nur, wenn ich bei der a) z.B. 0 einsetze, komme ich für $\begin{eqnarray*} \sup|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |0 - 0| = 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |1 - 1| = 0 \end{eqnarray*}$ .
Und in der c), wird ja dann plötzlich $\begin{eqnarray*} \tfrac{2}{3} \end{eqnarray*}$ in die Funktion eingesetzt, obwohl das weder in dem Definitionsbereich von f(x) noch in dem in c) genannten Definitionsbereich liegt?

Ich stehe, glaube ich, "auf dem Schlauch", was die Bedeutung dieser Definitionsbereiche angeht beziehungsweise welche Werte dann in f_n und f eingesetzt werden dürfen.

08.09.2014, 15:55

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von barghest
Nur, wenn ich bei der a) z.B. 0 einsetze, komme ich für $\begin{eqnarray*} \sup|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |0 - 0| = 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |1 - 1| = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das Supremum muss nicht am Rand angenommen werden. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} |f_n(\tfrac 14)-f(\tfrac 14)|\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Hast du dir schon die Grenzfunktion und einzelne Funktionen f_n skizziert? Wenn nein, dann mache dies.

Tipp: Es gibt folgenden Satz: Konvergiert f_n gegen f und sind alle f_n stetig, dann ist auch f stetig. Dies kannst du nutzen, um die Lösung bei Aufgabe (a) zu begründen. Weißt du wie?

Zitat:

Und in der c), wird ja dann plötzlich $\begin{eqnarray*} \tfrac{2}{3} \end{eqnarray*}$ in die Funktion eingesetzt, obwohl das weder in dem Definitionsbereich von f(x) noch in dem in c) genannten Definitionsbereich liegt?

Ich bin mir sicher, dass hier ein Schreibfehler in der Musterlösung vorliegt. Entweder meinten sie das Intervall $\begin{eqnarray*} [\tfrac 16, \tfrac 23] \end{eqnarray*}$ oder sie wollten 1/3 in die Funktion einsetzen.

08.09.2014, 17:01

barghest

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Zitat:

Original von Stephan Kulla
Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} |f_n(\tfrac 14)-f(\tfrac 14)|\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und genau da hakt mein Verständnis, denn die Folge $\begin{eqnarray*} (x + |x|)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ doch gegen 0 für x = 1/4? Und $\begin{eqnarray*} f(\tfrac 14) \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls 0.

Zitat:

Tipp: Es gibt folgenden Satz: Konvergiert f_n gegen f und sind alle f_n stetig, dann ist auch f stetig. Dies kannst du nutzen, um die Lösung bei Aufgabe (a) zu begründen. Weißt du wie?

Ja, da alle f_n stetig sind, aber die Funktion f(x) unstetig ist in $\begin{eqnarray*} x = \tfrac 12 \end{eqnarray*}$ , kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

08.09.2014, 18:10

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von barghest
Und genau da hakt mein Verständnis, denn die Folge $\begin{eqnarray*} (x + |x|)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ doch gegen 0 für x = 1/4? Und $\begin{eqnarray*} f(\tfrac 14) \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls 0.

Wichtig ist hier, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup \ldots \neq \sup \lim_{n\rightarrow\infty} \ldots \end{eqnarray*}$ ist. Du musst also für jedes n zuerst das Supremum bilden und erst danach lässt du n gegen unendlich laufen. Bei deiner Argumentation nimmst du zuerst den Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ und dann das Supremum, was aber falsch ist. Wichtig: In diesem Beispiel wird das Supremum von |f_n(x)-f(x)| je nach n immer an einer anderen Stelle im Definitionsbereich angenommen.

Hast du dir schon f und einige f_n skizziert?

Zitat:

Ja, da alle f_n stetig sind, aber die Funktion f(x) unstetig ist in $\begin{eqnarray*} x = \tfrac 12 \end{eqnarray*}$ , kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

Richtig!

08.09.2014, 18:14

Guppi12

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Kurzer Einwurf

Zitat:

Wichtig: In diesem Beispiel wird das Supremum von |f_n(x)-f(x)| je nach n immer an einer anderen Stelle im Definitionsbereich angenommen.

Eigentlich wird es garnicht angenommen und das ist glaube ich auch eines der Verständnisprobleme.

Bin wieder weg.

08.09.2014, 18:28

Stephan Kulla

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@Guppi12: Danke für den Hinweis! @barghest: Siehe dazu diese Seite zum Supremum.

(Notiz: hatte vorher hier was falsches geposted und es deswegen gelöscht...)

08.09.2014, 18:57

barghest

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Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.
In der a) und b) ist jeweils 1 das Supremum von $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1)^n = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
In der c) ist das Supremum 2/3, somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(\tfrac 23)^n = 0 \end{eqnarray*}$ , womit die gleichmäßige Konvergenz gezeigt wäre.

Ist das so korrekt?

08.09.2014, 19:08

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von barghest
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.
In der a) und b) ist jeweils 1 das Supremum von $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1)^n = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
In der c) ist das Supremum 2/3, somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(\tfrac 23)^n = 0 \end{eqnarray*}$ , womit die gleichmäßige Konvergenz gezeigt wäre.

Ist das so korrekt?

Sieht gut aus Augenzwinkern

Wieso nimmst du aber die Potenz $\begin{eqnarray*} (1)^n \end{eqnarray*}$ ?!

08.09.2014, 19:26

barghest

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Zitat:

Original von Stephan Kulla
Sieht gut aus Augenzwinkern

Wieso nimmst du aber die Potenz $\begin{eqnarray*} (1)^n \end{eqnarray*}$ ?!

Hm, ich versuche es nochmal:
a) und b): $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup |f_n(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \end{eqnarray*}$ , nachdem f_n(x) = 1, f(x) = 0.

c) : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup |f_n(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ , nachdem f_n(x) = f(x) = 0.

An dieser Stelle schonmal danke für jeden eurer Beiträge bisher :-).

08.09.2014, 21:08

Stephan Kulla

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ah, jetzt verstehe ich, wieso du die Potenz nimmst! Augenzwinkern

Schreibe lieber bei (a) und (b):

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)| = |f_n(\tfrac 12)-f(\tfrac 12)| = \ldots = 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n\rightarrow\infty} 1 = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Beachte, dass du die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)| = |f_n(\tfrac 12)-f(\tfrac 12)| \end{eqnarray*}$ für einen ordentlichen Beweis noch zeigen musst.

Bei (c) kannst du analog vorgehen.

09.09.2014, 12:04

barghest

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Vielen Dank, jetzt ist es mir wesentlich klarer geworden!

Ist es hier im Forum üblich, beantwortete/gelöste Fragen im Titel entsprechend zu markieren?

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