Logarithmusgleichung

08.09.2014, 13:15

schachtelkopf

Logarithmusgleichung

Meine Frage:
hey leute,

die aufgabe macht mir zu schaffen:

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})=10^{\log_{10}(3-x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
habe verschiedene ansätze versucht nur leider läuft es immer darauf hinaus das sich die variable wegkürzt..
oder ist da insgesammt ein fehler bei der anwendung der gesetze?

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})=10^{\log_{10}(3-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})=3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})+x=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9-2^{x}+2^{x}=2^{3} \end{eqnarray*}$

wo ist den der fehler ?
tipps tricks ?

lg schachtelkopf smile

08.09.2014, 13:26

Bernhard1

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Tipp:

$\begin{eqnarray*} \log_a (xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \end{eqnarray*}$

08.09.2014, 13:27

adiutor62

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RE: Logarithmusgleichung
Die 4. Zeile ist falsch, die 3. führt vom Ziel weg. Wenn man nach der 2. Zeile mit 2 exponiert, kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} 9-2^x=2^{3-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9-2^x=2^3*2^{-x} \end{eqnarray*}$

Multipliziere mit $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ durch und substituiere : $\begin{eqnarray*} 2^x=z \end{eqnarray*}$ . So erhälst du eine quadr. Gleichung.

08.09.2014, 13:39

adiutor62

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RE: Logarithmusgleichung
@Bernhard1:

Ich verstehe deinen Tipp nicht: Es gibt keinen log mit einem Produkt im Argument . verwirrt

08.09.2014, 13:49

schachtelkopf

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ok gut ...

ich versteh nicht was du mit : Multipliziere mit $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ durch und substituiere : $\begin{eqnarray*} 2^x=z \end{eqnarray*}$ . So erhälst du eine quadr. Gleichung. meinst ?

$\begin{eqnarray*} z\cdot(9-z)=2^{2}\cdot2^{-x}\cdot z \end{eqnarray*}$

meinst du das so ? verwirrt

08.09.2014, 13:54

Bernhard1

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Zitat:

Original von adiutor62
Ich verstehe deinen Tipp nicht: Es gibt keinen log mit einem Produkt im Argument . verwirrt

Sk hat diese Regel offensichtlich beim Übergang von Zeile3 nach Zeile4 falsch angewendet. Es ist etwas versteckt.

@Sk: Löse mal nach Zeile2 den log auf. EDIT: adiutor62 hat bereits angeschrieben, wie das geht.

08.09.2014, 13:58

adiutor62

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Nach der Multiplikation steht da:

$\begin{eqnarray*} 9*2^x-2^{2x}=2^3*1 \end{eqnarray*}$

Bedenke: $\begin{eqnarray*} 2^{-x}*2^x=2^0=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt alles auf eine Seite und substituieren.

08.09.2014, 14:02

Bernhard1

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Zitat:

Original von adiutor62
Bedenke: $\begin{eqnarray*} 2^0=0 \end{eqnarray*}$

Pfui ...

08.09.2014, 14:03

adiutor62

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Danke,das war ein dummer Tippfehler:

$\begin{eqnarray*} 2^0=1 \end{eqnarray*}$

08.09.2014, 14:07

Bernhard1

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Zitat:

Original von adiutor62
das war ein Tippfehler

OK. Bin dann schon wieder weg Big Laugh

08.09.2014, 14:22

schachtelkopf

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so jetzt ...

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})=10^{\log_{10}(3-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_{2}(9-2^{x})=3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9-2^{x}=2^{3-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9-2^{x}=2^{3}\cdot 2^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9\cdot 2^{x}-2^{2x}=2^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9z-z^{2}=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=8;1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x}=z=8\rightarrow x=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x}=z=1\rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

wobei 3 keine lösung von der ausgangs gleichung ist.

danke euch Freude