Herausfinden, wie viele Untergruppen der Ordnung X es gibt

Neue Frage »

MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Herausfinden, wie viele Untergruppen der Ordnung X es gibt
Moin,

ich habe hier zwei Elemente gegeben, welche eine Gruppe erzeugen.
Diese sind:


Ich habe nun diese Elemente mit sich selbst und untereinander in allen möglichen Varianten multipliziert und habe so alle Elemente in G ermittelt. Es ergibt sich:


Jetzt ist meine Aufgabe, alle Untergruppen von G zu ermitteln. Ich weiß, dass die Ordnung der Untergruppen stets ein Teiler der Ordnung von G sein muss. Ich kann mir also ausrechnen, dass es Untergruppen der Ordnung 1,2,4,8 gibt. Untergruppen der Ordnung 1 und 8 sind die trivialen Untergruppen und andere Untergruppen mit dieser Ordnung kann es nicht geben. Ich weiß jetzt leider nicht so genau, wie ich vorgehen muss, um wirklich alle Untergruppen zu finden (und dabei auch zu zeigen, dass es mehr nicht gibt).

Bei den Untergruppen der Ordnung 2 bin ich folgendermaßen vorgegangen. Ich weiß, dass das neutrale Element aus G in jeder Untergruppe enthalten ist. Außerdem muss noch ein weiteres Element enthalten sein. Dieses Element muss sein eigenes inverses sein. Ich habe also die 8 Elemente oben mit sich selbst multipliziert und nur . Also habe ich angenommen, dass die einzige Untergruppe der Ordnung 2 {e, z^2} ist. Ist das so richtig?

Wie mache ich es jetzt bei den Untergruppen der Ordnung 4? Ich kann zwar mindestens eine einfach so hinschreiben aber ich weiß nicht, wie viele es geben muss.

Gruß
Martin
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
ich habe hier zwei Elemente gegeben, welche eine Gruppe erzeugen.

Mit welcher Verknüpfung?
Bzw. in welcher Gruppe?
Die Verknüpfung ist für eine Gruppe immens wichtig, eine Menge allein kann keine Gruppe sein.

Zitat:
Es ergibt sich:

Wo sind denn die Elemente wie xz, x²z, usw. ?
Matrizenmult. ist nicht kommutativ.

Zitat:
Ich kann mir also ausrechnen, dass es Untergruppen der Ordnung 1,2,4,8 gibt.

Nein, das kannst du nicht. Lagrange sagt nur, dass es nur solche Untergruppen gaben kann, nicht aber das es solche gibt.

Zitat:
dass die einzige Untergruppe der Ordnung 2 {e, z^2} ist

Was ist mit <x²> ?

Meiner Meinung nach ist es bei solchen Aufgaben sehr sinnvoll zuerst die Ordnung aller Elemente zu bestimmen.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da hab ich wohl zuviel weg gelassen.

1. Die Verknüpfung ist die Matrizenmultiplikation
2. xz ist = zx^3, x^3z = zx. Ich hab alle Möglichkeiten von links und von rechts durchmultipliziert bis sich nichts neues mehr ergeben hat. Irgendwann kann man ja neue Ausdrücke immer wieder zurückführen auf alte. Wenn man xzx^2 betrachtet, ist das das gleiche wie xz^3 und das hatte ich schon ...
Die 8 von mir aufgezählten Elemente sind einfach jeweils Vertreter für die 8 unterschiedlichen Elemente in der Gruppe.

Ok, Lagrange sagt nur, dass es die Untergruppen eventuell gibt. Das führt mich aber ja wieder zu der Frage, woran ich sehen kann, ob es solche Untergruppen gibt und wenn ja, wie viele verschiedene Untergruppen es gibt.
Oder kann man das i.A. gar nicht bestimmen sondern muss es in jeder Gruppe irgendwie neu überlegen?

Die Ordnung der Elemente kann ich bestimmen aber ich weiß aktuell nicht, wie mir das hilft.

Gruß
Martin
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die 8 von mir aufgezählten Elemente sind einfach jeweils Vertreter für die 8 unterschiedlichen Elemente in der Gruppe.

Der Satz ergibt nicht wirklich Sinn.
Die 8 Elemente sind Elemente der Gruppe.
Wie soll denn ein Element Vertreter für ein Element sein? Das ist hier keine Quotientengruppe wo man Repräsentanten für Äquivalenzklassen hat.

Zitat:
Oder kann man das i.A. gar nicht bestimmen sondern muss es in jeder Gruppe irgendwie neu überlegen?

So ist es.

Zitat:
ich weiß aktuell nicht, wie mir das hilft.

Es ist ord(x)=|<x>|, und nach Lagrange ist jedes Element der Ordnung n kann nur in einer Gruppe enthalten sein, deren Ordnung ein Vielfaches von n ist.

P.S. Ist dir eigentlich bewusst, dass du die Aufgabe bereits vor 4 Monaten gemacht hast?
matheboard.de/thread.php?threadid=540926
Hattet ihr dazu keine Musterlöung/Lösungsvorschlag?
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, nein war mir nicht bewusst. Ich hab nur hier in meinem Block gesehen, dass ich noch keine Lösung zu der Aufgabe hatte. Da ich sonst hier mit Hilfe des Forums eigentlich immer eine Lösung finde, habe ich irgendwie geschlussfolgert, dass ich die Aufgabe dann wohl nicht gepostet hatte.

Das mit dem "Vertreter" ist unglücklich formuliert. In meinem anderen Thread sieht man ja die ganzen Kombinationen aus x und y. Allerdings treten dabei nur 8 unterschiedliche Matrizen auf. Ich meinte mit "Vertreter" einfach, dass ich im Ausdruck:

G = {z,z^2,z^3,z^4,x,x^3,zx,zx^3} für jede dieser Matrizen eine Kombination aus x und y zur Darstellung ausgewählt habe. Ich hätte auch schreiben können:
G = {z,x^2,z^3,z^4,.... } da einfach z^2 = x^2 ist. Das "Vertreter" bezog sich also nicht auf die Elemente an sich, sondern nur auf die Darstellung als Menge.

Jetzt sehe ich, wie ich mittels der Ordnung die Möglichkeiten einschränken kann. Ich kann ja dann schauen, welche Elemente für Untergruppen von Ordnung x vorkommen und muss dann nurnoch testen, ob eine beliebige Kombination von n dieser Elemente eine Untergruppe ist. Dabei werden dann manche Kombinationen schnell rausfliegen.

Zitat:
Was ist mit <x²> ?

das ist genau die von mir oben angegebene Untergruppe <z^2>.
Da wird das mit dem "Vertreter" vielleicht klar. Ich habe für die Matrix als Darstellung "z^2" gewählt. Ich hätte als "Vertreter" für diese Matrix auch "x^2" nehmen können.

Gruß
Martin
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kann ich folgendermaßen vorgehen?

Ich habe zuerst die Ordnungen bestimmt:

o(z) = 4
o(z²) = 2
o(z³) = 4
o(z^4) = 1
o(x) = 4
o(x³) = 4
o(zx) = 4
o(zx³) = 4

In einer Untergruppe der Ordnung 2 können also nur z^4 und z² vorkommen. Diese beiden zusammen bilden eine Untergruppe und somit die einzige Untergruppe der Ordnung 2.

Mit den anderen Elementen habe ich versucht, mir alle möglichen vierelementigen Mengen vernünftig zu konstruieren, so dass sie Untergruppen sind. Wählt man z, folgt direkt, dass auch z², z³ und z^4 in der Untergruppe sein müssen, damit sie abgeschlossen ist. Wählt man zx, müssen auch z², zx³, z^4 in die Untergruppe, damit sie abgeschlossen ist.
Auf diese Weise bekomme ich drei unterschiedliche Mengen mit je vier Elementen und muss jetzt ja eigentlich nur noch prüfen, ob es zu jedem Element ein Inverses gibt und ob die Mengen abgeschlossen sind bzgl. der Matrizenmultiplikation.

Gruß
Martin
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also die einzige Unzergruppe der Ordnung 2 ist richtig.

Zitat:
Original von MartinL
Auf diese Weise bekomme ich drei unterschiedliche Mengen mit je vier Elementen und muss jetzt ja eigentlich nur noch prüfen, ob es zu jedem Element ein Inverses gibt und ob die Mengen abgeschlossen sind bzgl. der Matrizenmultiplikation.

Das ist auch richtig. Es gibt 3 verschiedene Untergruppen mit 4 Elementen. Zu überprüfen ob diese abgeschlossen bzgl. Multiplikation sind, ist jedoch nicht nötig. Diese Untergruppen sind ja gerade durch das Erzeugnis eines Elements der Ordnung 4 entstanden. Das ist automatisch eine Untergruppe, da gibt es nichts zu überprüfen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n hast, dann kannst du zu jedem Element sofort das inverse finden:
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »