Ableiten

09.09.2014, 13:03

horst81

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Ableiten

Meine Frage:
Gegeben ist folgende Funktion und ich komme nicht auf das Ergebnis:

x=F(r1,r2)= 4*Wurzel(r1*r2)+1/3*r1

r1=9
r2=4
x=27

Um wieviel erhöht sich der Output wenn man den Faktor 2 um eine marginale Einheit erhöht.

Meine Ideen:
Mein Ansatz: Ich leite nach r2 ab und lasse r1 stehen bzw. setze da 9 dafür ein.

dx/dr2=

0= 4*Wurzel (9*r2)+3

0= 4*(3* 0.5r2)+3

0 = 24r2+3
-8= r2

wo ist da der Fehler?

09.09.2014, 13:13

Gast11022013

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Du hast einen Fehler drin, weil du den Exponenten von $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ nicht richtig anpasst.

Betrachten wir nur diese Variable, dann ist ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r_2}=r_2^{1/2} \end{eqnarray*}$

Leiten wir dies nun ab, so wird der Exponent ja um eins verringert:

$\begin{eqnarray*} \frac12\cdot r_2^{1/2-1}=\frac{1}{2}r_2^{-1/2}=\frac1{2\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

Übrigens kann ich für die Aufgabe nur deinen Rechenweg korrigieren. Ob der Ansatz so stimmt kann ich dir nicht sagen.

Edit: Außerdem entsteht auch ein Rechenfehler

$\begin{eqnarray*} 3\cdot 4\cdot \frac12\neq 24 \end{eqnarray*}$

Die Konstante +3 gehört in der Ableitung natürlich auch nicht mehr hin...
Und warum setzt du dies direkt gleich Null?

09.09.2014, 13:16

klarsoweit

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RE: Ableiten
Außerdem frage ich mich, was hiermit

Zitat:

Original von horst81
Mein Ansatz: Ich leite nach r2 ab und lasse r1 stehen bzw. setze da 9 dafür ein.

dx/dr2=

0= 4*Wurzel (9*r2)+3

gerechnet werden soll. verwirrt

verwirrt

09.09.2014, 13:29

Horst81

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Hab Abi 2002 gemacht und meine Mathekenntnisse gehen gegen null. Ich hab nun ne bwl-Klausur vor mir -.-

Null habe ich es gesetzt weil ich wohl einen Denkfehler gemacht und X abgeleitet habe.

Kann ich statt Null nun einfach die 27 für x einsetzen wenn nur nach r2 abgeleitet werden soll?

09.09.2014, 13:44

Gast11022013

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Wie gesagt kann ich dir bei diesem Aufgabentyp nicht helfen und nur deine Rechnung korrigieren.
Die Ableitung gleich Null zu setzen ist jedenfalls ein wenig sinnlos. Vor allem da du dies direkt tust. Das wäre auch wohl von der Notation her unglücklich.
Immerhin bist du ja gerade dabei die Ableitung zu bestimmen.

Was hier gefragt sein könnte, ist vielleicht einfach die Angabe der Ableitung.
Da kann ich dir leider nicht so gut weiter helfen.

09.09.2014, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Horst81
Hab Abi 2002 gemacht und meine Mathekenntnisse gehen gegen null.

Das ist natürlich tragisch, denn letztlich läuft die Aufgabe so, wie man es in der Schule gelernt haben sollte: leite F(r1,r2)= 4*Wurzel(r1*r2)+1/3*r1 nach r2 ab und setze in die Ableitung die Werte für r1 und r2 ein.

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09.09.2014, 14:21

Horst81

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Ich habe verstanden, dass aus r2^-1/2 = 1/2teWurzel von r2 geworden ist aber was ist mit den 1/2 geworden die davor standen?

DANKE!!!

09.09.2014, 14:28

Gast11022013

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Zitat:

Original von Gmasterflash

$\begin{eqnarray*} \frac12\cdot r_2^{1/2-1}=\frac{1}{2}r_2^{-1/2}=\frac1{2\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} 0.5=\frac12 \end{eqnarray*}$ stehen doch da.

Im letzten Schritt wird alles auf einen Bruch gebracht. Da der Exponent negativ ist kommt auch dies in den Nenner der 1/2.

09.09.2014, 14:34

horst81

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a^{-\frac{1}{n} }

=

\frac{1}{\sqrt[n]{a} }

was passiert mit den 1/2?

09.09.2014, 14:42

horst81

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$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n} }<br /> <br /> =<br /> <br /> \frac{1}{\sqrt[n]{a} }<br /> <br /> =<br /> <br /> 0.5r2^{-\frac{1}{2} }<br /> <br /> = \frac{1}{\sqrt[2]{0.5r2} } \end{eqnarray*}$

müsste es bei Anwendung obiger Gleichung nicht so aussehen? ich verstehe nicht wo da die 0.5 hin ist?? sorry für die Dumme Frage.

09.09.2014, 14:58

Gast11022013

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Die 0.5 gehört natürlich nicht unter die Wurzel. Sondern sind wie oben im zitierten Beitrag zu verbauen.
Außerdem macht die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=0.5r_2^{-1/2} \end{eqnarray*}$

auch nicht unbedingt Sinn.

09.09.2014, 15:18

Horst81

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ja das = Zeichen sollte nur bedeuten, dass ich es auf die konkrete Rechnung anwende.

Ich sehe aber nicht wo die 0.5 hin ist. Könntest du mir das erklären? Das wäre cool.

09.09.2014, 15:23

Gast11022013

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Das die Ableitung von dem Summand

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r_2}<br /> <br /> 0.5r_2^{-1/2} \end{eqnarray*}$

ist, da stimmst du mir noch zu, oder?

Nun kann man 0,5 ja schreiben als $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} r_2^{-1/2} \end{eqnarray*}$ kann man schreiben als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^{1/2}} \end{eqnarray*}$ und dies kann man ja wiederum schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{r_2}}<br /> \end{eqnarray*}$
Nun haben wir also das Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac12\cdot \frac{1}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

Und wie multipliziert man zwei Brüche? Richtig, indem man Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler rechnet.

Insgesamt kommen wir also zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\cdot\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

09.09.2014, 15:36

Horst81

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Danke für deine Riesenmühe!

Ich hatte deine 2 als zweite Wurzel interpretiert. und nicht als eine davorstehende 2. So macht es dann auch richtig Sinn. Vielen Dank.

Wenn ich nun nach r2 ableiten soll

dann sieht das doch so aus oder?

27= 12*1/2*Wurzelr2 + 3

wie kriege ich das nach r2 aufgelöst?

Ist erster SChritt dass ich die Gleichung mit Wurzel r2 mal nehme um Wurzel r2 im Nenner wegzubekommen?

09.09.2014, 15:53

Gast11022013

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Konstanten fallen beim ableiten weg.

$\begin{eqnarray*} F '(r_2)=\frac{6}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

Die 12 kann man ja mit der 2 kürzen.

Wenn du diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} 27=\frac{6}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ auflösen möchtest, dann beseitige im ersten Schritt den Bruch.
Wie von dir beschrieben.

Danach beseitige die Wurzel. Wie?

09.09.2014, 15:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Horst81
Wenn ich nun nach r2 ableiten soll

dann sieht das doch so aus oder?

27= 12*1/2*Wurzelr2 + 3

Was willst du mit der 27 davor? Du hast anscheinend immer noch nicht verstanden, daß du lediglich die Ableitung nach r2 brauchst, in die du dann die Werte für r1 und r2 einsetzt.

09.09.2014, 17:09

Horst81

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Horst81
Wenn ich nun nach r2 ableiten soll

dann sieht das doch so aus oder?

27= 12*1/2*Wurzelr2 + 3

Was willst du mit der 27 davor? Du hast anscheinend immer noch nicht verstanden, daß du lediglich die Ableitung nach r2 brauchst, in die du dann die Werte für r1 und r2 einsetzt.

Bin weit davon entfernt was verstanden zu haben smile

smile

Aber ich kriege das hoffentlich heute noch hin ansonsten brauche ich wohl gar nicht erst mit dem Lernen anfangen wenn das Mathezeug nicht sitzt.

09.09.2014, 17:11

Horst81

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Konstanten fallen beim ableiten weg.

$\begin{eqnarray*} F '(r_2)=\frac{6}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

Die 12 kann man ja mit der 2 kürzen.

Wenn du diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} 27=\frac{6}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ auflösen möchtest, dann beseitige im ersten Schritt den Bruch.
Wie von dir beschrieben.

Danach beseitige die Wurzel. Wie?

Potenzieren!!

09.09.2014, 17:12

Gast11022013

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Und womit potenzieren?

Zitat:

Aber ich kriege das hoffentlich heute noch hin ansonsten brauche ich wohl gar nicht erst mit dem Lernen anfangen wenn das Mathezeug nicht sitzt.

Das ist die richtige Einstellung.

09.09.2014, 17:17

horst81

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Horst81
Wenn ich nun nach r2 ableiten soll

dann sieht das doch so aus oder?

27= 12*1/2*Wurzelr2 + 3

Was willst du mit der 27 davor? Du hast anscheinend immer noch nicht verstanden, daß du lediglich die Ableitung nach r2 brauchst, in die du dann die Werte für r1 und r2 einsetzt.

Jemand aus dem studienservice hat nun die Musterlösung so gemacht.

Kannst du das nachvollziehbar erklären? Danke!

x = 4 * (r1 * r2)^0,5 + 1/3 * r1

Gesucht ist die Output-Änderung bei marginaler Erhöhung von Faktor 2 im Produktionspunkt r1 = 9, r2 = 4:

dx/dr2 = 4 * 0,5 * (r1 * r2)^-0,5 * r1 = 2 * r1^0,5 * r2^-0,5

Einsetzen r1 = 9, r2 = 4:

dx/dr2 = 2 * 9^0,5 * 4^-0,5 = 2 * 3 * 0,5 = 3

09.09.2014, 17:20

Horst81

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Und womit potenzieren?

Zitat:

Aber ich kriege das hoffentlich heute noch hin ansonsten brauche ich wohl gar nicht erst mit dem Lernen anfangen wenn das Mathezeug nicht sitzt.

Das ist die richtige Einstellung.

mit 2 oder? Dann verschwindet die Wurzel. Aber schau dir mal bitte meinen neuesten post an. Das mit 27 war wohl total falsch.

09.09.2014, 17:25

Gast11022013

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Ja, du müsstest mit 2 potenzieren.

Zu deinem Post mit der Rechnung.

Es wird die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bestimmt, nur das nicht direkt $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ durch 3 ersetzt wird.
Danach setzt man für $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ die Werte ein und rechnet es aus.

09.09.2014, 17:28

horst81

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was passiert mit r1 in der Wurzel? Warum fällt das nicht als Konstante weg wie bei dem Term "1/3*r1".

09.09.2014, 17:31

Gast11022013

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Weil du eine andere Ableitungsregel verwenden musst.

Für $\begin{eqnarray*} \frac13r_1 \end{eqnarray*}$ wäre das die Summenregel. Da dieser Summand nicht von der Variablen r_2 abhängt fällt er weg.

Dadurch, dass wir für

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r_1r_2} \end{eqnarray*}$ die Kettenregel benötigen und das $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ "zusammenhängt" fällt es nicht einfach weg.

09.09.2014, 17:38

Horst81

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Weil du eine andere Ableitungsregel verwenden musst.

Für $\begin{eqnarray*} \frac13r_1 \end{eqnarray*}$ wäre das die Summenregel. Da dieser Summand nicht von der Variablen r_2 abhängt fällt er weg.

Dadurch, dass wir für

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r_1r_2} \end{eqnarray*}$ die Kettenregel benötigen und das $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ "zusammenhängt" fällt es nicht einfach weg.

SUPER! DANKE!

09.09.2014, 17:50

Gast11022013

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Gern geschehen.

10.09.2014, 08:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von horst81
Jemand aus dem studienservice hat nun die Musterlösung so gemacht.

Kannst du das nachvollziehbar erklären? Danke!

x = 4 * (r1 * r2)^0,5 + 1/3 * r1

Gesucht ist die Output-Änderung bei marginaler Erhöhung von Faktor 2 im Produktionspunkt r1 = 9, r2 = 4:

dx/dr2 = 4 * 0,5 * (r1 * r2)^-0,5 * r1 = 2 * r1^0,5 * r2^-0,5

Einsetzen r1 = 9, r2 = 4:

dx/dr2 = 2 * 9^0,5 * 4^-0,5 = 2 * 3 * 0,5 = 3

Das ist genau der Weg, auf den ich die ganze Zeit hingewiesen habe. Aber anscheinend habe ich leider nur gegen eine Wand geredet. geschockt

geschockt

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