Berechnung von Summenzeichen

09.09.2014, 16:09

Robb1986

Berechnung von Summenzeichen

Meine Frage:
Hallo, ich habe sehr große Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray*} \sum _{ k=0 }^{ 110 }{ 1/(k+1) } -\sum _{ k=4 }^{ 113 }{ 1/(k-2) } \end{eqnarray*}$

Ich wäre euch für einen ausführlichen Lösungsweg sehr dankbar. smile

Meine Ideen:
Ich denke dass ich die Indexverschiebung anwenden muss. Jedoch passen sich die Grenzen nicht an. Muss ich evtl. eine weitere Regel beachten?

09.09.2014, 16:12

Gast11022013

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Wie würdest du die Indexverschiebung den durchführen?
Die Grenzen müsstest du natürlich auch anpassen.

Edit: Mach du ruhig weiter, HAL.

09.09.2014, 16:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Robb1986
Jedoch passen sich die Grenzen nicht an.

Was genau meinst du damit? verwirrt

Jedenfalls ist Indexverschiebung genau die richtige Idee - hier würde sich z.B. Verschiebung $\begin{align*} k=j+3 \end{align*}$ in der zweiten Summe anbieten.

EDIT: Bin weg. Augenzwinkern

09.09.2014, 16:31

Bernhard1

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@Robb1986: Vergleiche doch mal den Term hinter der linken Summe für k=1 mit dem Term hinter der rechten Summe für k=4. Was passiert, wenn man ausgehend davon sowohl beim linken, als auch bei dem rechten Term k um eins erhöht?

09.09.2014, 17:30

Robb1986

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Als nächstes habe ich diesen Schritt gewählt:

$\begin{eqnarray*} \sum _{ k=3 }^{ 113 }{ (1/k-2 } )-\sum _{ k=4 }^{ 113 }{ (1/k-2) } \end{eqnarray*}$

Damit sind die Terme der jeweiligen Summe identisch.

Ich komme nun aber nicht so weit um diese Formel anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} \sum _{ i=m }^{ n }{ a_{i} } \pm \sum _{ i=m }^{ n }{ b_{i} } = \sum _{ i=m }^{ n }{ (a_{i} \pm b_{i}) } \end{eqnarray*}$

weil die unteren Summationsgrenzen nicht übereinstimmen.

09.09.2014, 17:33

Gast11022013

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Sorge dafür, dass die erste Summe auch bei k=4 startet indem du den ersten Summanden separat berechnest.

09.09.2014, 17:38

HAL 9000

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Klammersetzung nach Zufallsprinzip?
@Robb1986

Inhaltlich hatte ich mich ja verabschiedet, aber ein Wort zur mathematischen Syntax:

$\begin{align*} (1/k - 2) = \left( \frac{1}{k} - 2 \right) = \frac{1}{k} - 2 \end{align*}$

ist Unsinn. Oben stand es mit

$\begin{align*} 1/(k-2) = \frac{1}{k-2} \end{align*}$

noch richtig - also bleib bitte dabei!!!

09.09.2014, 17:47

Robb1986

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Ups!

09.09.2014, 18:09

Robb1986

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$\begin{eqnarray*} \sum _{ k=3 }^{ 3 }{ 1/(k-2)\quad +\sum _{ k=4 }^{ 113 }{ 1/(k-2)\quad -\sum _{ k=4 }^{ 113 }{ 1/(k-2) } } } =\quad 1\quad +\quad \sum _{ k=4 }^{ 113 }{ (1/(k-2))\quad -\quad (1/(k-2 } ))\quad =\quad 1 \end{eqnarray*}$

Müsste doch stimmen oder?

09.09.2014, 18:10

Gast11022013

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Ja, sollte passen.

09.09.2014, 18:12

Robb1986

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Habt vielen Dank!

09.09.2014, 18:13

Gast11022013

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Gern geschehen.