Taylorreihenentwicklung Restglied

09.09.2014, 18:03

Manko

Taylorreihenentwicklung Restglied

WIe kommt es dazu, dass in dieser Reihe noch der Term -1 kommt?
Das Ziel des ganzen ist es einen Koeffizienten Vergleich zu machen und zwar so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{r^{l+1}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}r\sqrt{1+(R/r)^2} \end{eqnarray*}$

Ich soll eine Art Abschätzung machen...

09.09.2014, 19:59

HAL 9000

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Ich nehme an, du hast da was falsch gedeutet, und es geht in Wahrheit um die Reihenentwicklung $\begin{align*} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{r^{l+1}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}r \left( \sqrt{1+(R/r)^2}-1 \right) \end{align*}$ .

09.09.2014, 21:24

Manko

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Ja ist mir schon klar.
Aber ich versteh nicht wieso der da sagt für r > R soll jene Taylorreihe gelten.
Die gilt doch meiner Meinung nach auch für r < R.
Außerdem seh ich da nicht ganz ein wieso der da das r² aus der Wurzel heraushebt? Die Taylorreihe ändert sich doch dadurch auch nicht

09.09.2014, 21:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manko
Ja ist mir schon klar.

... inzwischen? Denn oben ja wohl noch nicht: Da hattest du noch

$\begin{align*} \sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{r^{l+1}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}r\sqrt{1+(R/r)^2} \end{align*}$

geschrieben.

Zitat:

Original von Manko
Aber ich versteh nicht wieso der da sagt für r > R soll jene Taylorreihe gelten.
Die gilt doch meiner Meinung nach auch für r < R.

Nein: Für r<R divergiert diese Reihe. unglücklich

Zitat:

Original von Manko
Außerdem seh ich da nicht ganz ein wieso der da das r² aus der Wurzel heraushebt?

$\begin{align*} r\cdot \frac{1}{r^2} = \frac{1}{r} \end{align*}$

10.09.2014, 16:11

Manko

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Zitat:

r⋅1r2=1r

Ich meinte eigentlich: Wieso ist es unbedingt notwendig das r herauszuheben? Mir kommt es nämlich so vor, als ob der Autor mit weißmachen möchte, dass das wohl der normale weg sei und man das natürlich so macht. Mir leuchtet aber nicht ein wieso genau.

Zitat:

Nein: Für r<R divergiert diese Reihe.

Aber wieso sollte die Reihe für r < R divergieren`? Das verstehe ich nicht ganz..

Zitat:

... inzwischen? Denn oben ja wohl noch nicht: Da hattest du noch ∑l=0∞Blrl+1=Ã2µ0r1+(R/r)2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯√ geschrieben.

Aber was ist daran denn falsch? Ich gebe es zu, der Titel ist etwas schlecht gewählt. Weiß auch nicht wieso ich den gerade so benannt habe. Tut mir leid dafür.

10.09.2014, 16:12

Manko

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Zitat:

Ich nehme an, du hast da was falsch gedeutet, und es geht in Wahrheit um die Reihenentwicklung

Ach ja, das meintest du. Ok, da hast du recht. Deswegen hebt sich auch dieses r am Ende wieder weg.. Danke

10.09.2014, 17:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manko
Aber wieso sollte die Reihe für r < R divergieren`? Das verstehe ich nicht ganz.

Die hier angewandte Potenzreihe

$\begin{align*} (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \end{align*}$

besitzt für nicht-natürliche $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ den Konvergenzradius 1 (rechne es doch nach!), d.h. insbesondere, dass sie für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ divergiert. Das trifft natürlich auch im hier betrachteten Fall $\begin{align*} \alpha=\frac{1}{2},x=\frac{R^2}{r^2} \end{align*}$ zu.

10.09.2014, 20:45

Manko

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Ich sehe so eine Reihe leider nicht. Was ist Alpha und was ist x in meiner Rechnung? Wo sehe ich diese?

Meinst du vielleicht mit der Reihe diese hier:
$\begin{eqnarray*} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta) \end{eqnarray*}$

??
Also wenn ich halt die ganzen Koeffizienten berechne, dann divergiert diese Reihe?

10.09.2014, 21:20

HAL 9000

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Miserabel mitgelesen? Oder einfach überhaupt nicht mitgedacht?

Zitat:

Original von Manko
Was ist Alpha und was ist x in meiner Rechnung?

Hab ich das nicht genannt?

Zitat:

Original von HAL 9000
Das trifft natürlich auch im hier betrachteten Fall $\begin{align*} \alpha=\frac{1}{2},x=\frac{R^2}{r^2} \end{align*}$ zu.

Oder siehst du nicht, dass

$\begin{align*} \sqrt{1+(R/r)^2} = \left( 1+(R/r)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}$

ist? Ich muss kapitulieren, denn weiter detailliert kann ich es nun wirklich nicht aufdröseln. unglücklich

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