Stetig, ((stetig) partiell) differenzierbar Implikationen

10.09.2014, 11:22

Anke89

Stetig, ((stetig) partiell) differenzierbar Implikationen

Welche Implikationen gibt es zwischen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, partielle Differenzierbarkeit, stetig partielle Differenzierbarkeit? Geben sie Gegenbeispiele für Implikationen zwischen den obigen Begriffen, die nicht gelten.

Das ist meine Aufgabe. Nun hab ich mir schon folgendes überlegt:

stetig partiell differenzierbar -> total differenzierbar -> (differenzierbar in jede Richtung --> ) -> partiell differenzierbar

Die Umkehrungen gelten hier nicht, allerdings fehlen mir dafür einfache Beispiele.

aus differenzierbar folgt stetig, aber auch die Umkehrung ist falsch, weil z.B. die Betragsfunktion stetig ist, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.

Gibt es zudem noch weitere Implikationen?

10.09.2014, 14:44

bijektion

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Zitat:

Die Umkehrungen gelten hier nicht, allerdings fehlen mir dafür einfache Beispiele.

Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\cdot\sin\frac{1}{x^2+y^2} & \text{falls } (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist im Nullpunkt differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar.

11.09.2014, 07:15

Anke89

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Danke! Darauf muss man erstmal kommen Augenzwinkern

Gelten denn noch weitere Implikationen, die ich nicht aufgeführt habe?

11.09.2014, 08:38

bijektion

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Ich sehe zumindest gerade keine Wink

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