Funktion Krümmungsverhalten |
| 10.09.2014, 16:18 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktion Krümmungsverhalten ich sitzte hier vor der Funktion und möchte bestimmen, auf welchen Intervallen die Funktion konvex bzw konkav verläuft, dazu habe ich die 2. Ableitung gebildet (was schon aufwendig war, alles ohne Hilfsmittel) und mit >0 bzw. <0 gearbeitet. Mir erscheint das alles viel zu langwierig und kompliziert (ich habe die Funktion als Hilfe geplottet und kenne das Verhalten). Man stößt nämlich auf mehrere Fälle wegen der Ungleichung, auf Substitutionen für dei pq. Formel etc... Gibt es da nicht einen einfacheren Weg oder muss ich mich da entlang hangeln? Denn ich komme auch nicht auf die richtigen Intervalle (4 Stk!!!) MfG |
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| 10.09.2014, 17:17 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß ja nicht, welche Ableitung Du herausbekommen hast, aber ich vermute mal, dass Du nicht gekürzt hast. Als zweite Ableitung erhalte ich den Term und dessen Vorzeichen ist ohne pq-Formel bestimmbar. |
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| 10.09.2014, 17:40 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, das habe ich raus, nun ja, so ähnlich, denn wenn ich das mit der Quotientenregel löse, komme ich auf: Das ist das was du auch raushast, nur ich frage mich jetzt, ob ich gezwungen bin, nochmal extra Polynomdivision zu machen, damit ich auf deinen Zähler komme. Denn einfach so könnte ich nicht erkennen, dass mein Zähler gleich deinem ist... das war mein erstes Problem. Dann (im Bezug auf meinen Zähler): Der Nenner ist immer >=0 deswegen fällt eine Fallunterscheidung weg. Nun teile ich durch x (jetzt kommt eine Fallunterscheidung ins Spiel, und ich substituiere x^2 damit ich die pq Formel anwenden kann (überhaupt richtig so)? Ich bekomme als Lösungen -3 und 1 bei der pq Formel, resubstituieren und daraus wird 1 und halt der nicht relle Wert (-3)^0.5. Jetzt bin ich soweit verzweigt, dass ich mich garnicht mehr zurecht finde, wie komme ich jetzt weiter? Erstmal nur im Bezug hier auf den Konvex-Teil |
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| 10.09.2014, 19:03 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das musst du nicht, wenn du schon beim Ableiten rechtzeitig kürzt - so wie Helferlein es gesagt hat. Mit der Funktion ist es nun ja nicht weiter schwierig, das Vorzeichen zu bestimmen. 
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| 10.09.2014, 21:44 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Quotientenregel kannst Du grundsätzlich immer dann kürzen, wenn die Potenz des Nenners größer als 1 ist. Sie steigt dann mit jeder Ableitung nur um 1, anstatt zwei. |
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| 11.09.2014, 11:25 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gut, außerdem sollte dann die Bestimmung der Intervalle für konvex und konkav einfacher werden: 2x*(3+x^2)>0 Dann zwei Fallunterscheidungen beim auflösen da man das x von den 2x ja wegteilt, aber wie gehts dann weiter? Bei ungleichungen verwirrt mich das immer... |
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| 11.09.2014, 11:43 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welches Vorzeichen hat denn deine Klammer? Und wann ist ein Produkt positiv? Das solltest du dir schon überlegen können!
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| 11.09.2014, 15:16 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du damit? Es handelt sich doch um eine Ungleichung, und wir kennen den Wert für x nicht, d.h. x kann sowohl positiv alsauch negativ sein und deswegen kommt die Fallunterscheidung ins Spiel. |
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| 11.09.2014, 18:32 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du untersuchen möchtest, für welche x dein Zählerprodukt größer als 0 (positiv) ist, gibt es doch zwei Möglichkeiten. Beide Faktoren sind positiv, oder beide Faktoren sind negativ. Wenn du dir deine Klammer mal anguckst, solltest du feststellen, dass diese wohl stets positiv für alle x aus R ist. Dann musst du wohl nur noch feststellen, für welche x dein zweiter Faktor größer als 0 ist. |
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| 12.09.2014, 14:55 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja jetzt verstehe ich was du meinst, aber wie baue ich denn nun den Nenner da noch mit ein (x^2-1)^3 kann ja auch > bzw < 0 sein. Ich muss ja am Ende auf meine 4 Intervalle kommen |
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| 12.09.2014, 15:28 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gilt ja: f ist konvex auf (-1,0] und (1,unendlich) f ist konkav auf ( - unendlich,-1) und [0,1) Wie komme ich denn jetzt darauf ist meine Frage, 2 mal ableiten, dann für konvex > 0 und konkav < 0 und dann?! |
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| 12.09.2014, 16:39 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast doch deine drei Stellen, welche deine 4 Intervalle begrenzen, schon benannt. Such dir doch eine Stelle dazwischen aus und berechne f`` von dieser Stelle. Dann wirst du feststellen, ob das Intervall konvex oder konkav ist. Ansonsten machst du eine Fallunterscheidung: Wenn f``größer als 0 sein soll, gibt es wieder 2 Möglichkeiten: + durch + und - durch -. 1. Fall: + durch + Zähler: Wird positiv für x > 0 Nenner: x muss kleiner als -1 oder größer als 1 sein Beide Bedingungen sind wohl erfüllt für x > 1 Da hast du also dein erstes Intervall. Die übrigen solltest du dir nun alleine überlegen können. Viel Spaß dabei und ein schönes Wochenende
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| 12.09.2014, 16:49 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Intervalle habe ich zwar vom Graphen abgelesen, aber den Rechenweg schaffe ich jetzt auch Danke dir! |
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