Bilinearform positiv definit (Matrix symmetrisch und positive Eigenwerte)

10.09.2014, 18:33	MatSunny	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform positiv definit (Matrix symmetrisch und positive Eigenwerte) Meine Frage: Hey Ich habe drei Fragen: 1) Sei A (eine reelle Matrix)symmetrisch und mit positiven Eigenwerten. Zz: Bilinearform x^t * A * y ist positiv definit 2) A ( reelle Matrix) ist eine symmetrische Matrix und S eine orthogonale Matrix mit S * A * S^(-1) = 2 0 0 0 5 0 0 0 7 zZ: Bilinearform x^t * A * x ist Skalarprodukt 3) Sei eine Matrix A gegeben mit: 3 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 Zz: Alle Ew von A sind positiv Meine Ideen: Das sind meine Ansätze: 1) A symmetrisch d.h. A= A^t A hat positive EW --> positiv definit und es soll gelten, dass x^t * A * y > 0 ist. (x^t * A * y)^t = y^t * A^t * (x^t)^t = y^t * A^t * x also ist die Bilinearform symmetrisch --> diagioalisierbar 2) Skalarprodukt d.h. positiv, definite symmetrische Bilinearform. Da die Eigenwerte positiv --> positiv definit Da S orthogonal d.h. S^(-1) = S^t und det S = +- 1 Zz: Symmetrisch 3) EW positiv --> Matrix ist positiv definit det(2)=2>0 det ( 2 -1 -1 2) = 3 >0 det(A)=7 >0 Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet Danke schon mal
10.09.2014, 18:44	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zu 1). Hier ist etwas anderes zu zeigen. Für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ wird das wohl kaum gelten, du musst auch nur $\begin{eqnarray} x^T\cdot Ax >0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ zeigen.
10.09.2014, 18:51	MatSunny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt Jedoch komme ich leider nicht weiter. Wie kann ich das zeigen?
11.09.2014, 11:00	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ heißt positiv definit, wenn für alle $\begin{eqnarray} x=(x_n,\dots ,x_n)\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (x_1,\dots,x_n)\cdot A\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} >0 \end{eqnarray}$ . Das ist äquivalent damit, dass alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ größer null sind, und das hast du gegeben.
11.09.2014, 12:44	MatSunny	Auf diesen Beitrag antworten »
Also reicht es zu 1) zu schreiben, dass da alle Eigenwerte von A positiv sind, die symmetrische Matrix A positiv definit ist, oder muss man das noch mehr begründen? Dann müsste die 3) aber passen, oder? Bei der 2) komm ich auch gar nicht weiter. Vielen Dank schon mal!! Du hilfst mir sehr weiter!
11.09.2014, 13:08	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 3) musst du doch nur die Nullstellen von $\begin{eqnarray} \chi_A(x) \end{eqnarray}$ bestimmen. Zu 2): Was heißt es denn, das $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ orthogonal ist?
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11.09.2014, 17:47	MatSunny	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der 3) kann man zwar das charakteristische Polynom bestimmen und dann sind die Nullwerte die Eigenwerte und wenn sie positiv sind, dann ist die Behauptung gezeigt. In diesem Fall ist die Matrix aber total blöd zum Rechnen. Ich habs mal probiert: das charakteristische Polynom ist -x^3+7x^2-14x+7 und demnach sind die Eigenwerte laut Wolfram Alpha irgendwas mit 0.75302, 4.5550 und 3.8019. Da ich mir die Aufgabe nicht ausgedacht habe, kann ich mir nicht vorstellen, dass es nur den Rechenweg gibt. Was ist mit meinem Ansatz? Wenn man ihn nicht verwenden kann, warum darf man es dann nicht so machen. Bei der 2) Ich hätte halt gesagt, dass man das Argument: alle Eigenwerte von A sind positiv--> die symmetrische Bilinearform ist positiv definit hier benutzen kann. Also soll ich hier ja noch die Symmetrie zeigen. Es muss dann also: (x^t * A * y)^t = y^t * A^t * (x^t)^t = y^t * A^t * x gelten. Da S orthogonal ist d.h. S^(-1) = S^t folgt dann, mit SDS^-1=A und (SDS^-1)=A^t die Behauptung.

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