Beweis: Spektralsatz (normale Abb.)

11.09.2014, 11:49	Matilda33	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Spektralsatz (normale Abb.) Ich habe eine Frage zu einem Beweis: "Sei F ein Endomorphismus eines euklidisches bzw. unitären Vektorraumes, dessen charakteristisches Polynom vollständig in LF zerfällt. Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig: i) F ist normal II) Es existiert eine ONB von V aus EV von F i -> ii) Induktion über n = dim V. Induktionsanfang ist trivial (verstehe ich). Sei daher die Aussage für n-1 bewiesen. Sei l1 Eigenwert mit dazugehörigen Eigenvektor v1 und V1 := Cv1. Definiere $\begin{eqnarray} W := \{w \in V: <w,v_1> = 0\} \end{eqnarray}$ . Dann ist V gleich die orthogonale Summe aus V1 und W und wegen dim W = n-1 sowie der Induktionsannahme muss nur noch gezeigt werden: $\begin{eqnarray} F(W) \subseteq W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_{\|w} \end{eqnarray*}$ normal. Warum müssen diese beiden letzten Eigenschaften gezeigt werden?
11.09.2014, 23:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Spektralsatz (normale Abb.) Wenn das gezeigt ist, kannst du die Induktionsvoraussetzung auf $\begin{eqnarray} F\vert_W\colon W\to W \end{eqnarray}$ anwenden.

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