Winkeldifferentialgleichung lösen

11.09.2014, 14:04

Samuel323

Winkeldifferentialgleichung lösen

Ich muss diese Differentialgleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 w}{\partial \varphi^2} \frac{1}{w}=-k^2 \end{eqnarray*}$
Dabei kann das k beliebige Werte annehmen und ist weiters nicht relevant.

und habe die allgemeine Lösung eigentlich schon gefunden:

$\begin{eqnarray*} w(\varphi) = C \sin(k \varphi)+ D \cos(k \varphi) \end{eqnarray*}$

Jedoch muss ich noch über alle k summieren und erhalte dann:
$\begin{eqnarray*} w(\varphi) = \int_{-\infty}^{\infty} \left [C \sin(k \varphi)+ D \cos(k \varphi) \right ] dk \end{eqnarray*}$

Jedoch kommt mir dann die Lösung in die Quere, denn diese sagt das k könne nur ganzzahlige positive Werte annehmen und somit beschränkt sich die Lösung auf eine unendliche Summe.

Ich verstehe aber nicht wieso?
Wieso kann das k nur ganzzahlige positive Werte annehmen?

11.09.2014, 16:50

HAL 9000

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falscher Adressat

Zitat:

Original von Samuel323
Wieso kann das k nur ganzzahlige positive Werte annehmen?

Das musst du dem (inhaltlichen) Umfeld dieser DGL entnehmen - mathematisch spricht nichts dagegen, diese DGL auch für andere reelle $\begin{align*} k \end{align*}$ zu betrachten.

11.09.2014, 17:00

Samuel323

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Die Lösung geht davon aus, dass
$\begin{eqnarray*} w(\varphi + 2\pi)=w(\varphi) \end{eqnarray*}$

Was auch sehr schnell nachvollziehbar ist. Aber die Lösung folgert genau durch diese Bedingung, dass k ganzzahlig und positiv sein muss.

ich kann dies aber nicht nachsollziehen..

11.09.2014, 17:18

HAL 9000

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Na da haben wir es doch: Die $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität erfordert tatsächlich die Ganzzahligkeit von $\begin{align*} k \end{align*}$ .

Kann man am einfachsten vielleicht so sehen: $\begin{align*} w(\varphi) = C \sin(k \varphi)+ D \cos(k \varphi) \end{align*}$ lässt sich mit geeigneter Amplitude $\begin{align*} A \end{align*}$ und Phase $\begin{align*} \varphi_0 \end{align*}$ auch so darstellen

$\begin{align*} w(\varphi) = A \cos(k \varphi + \varphi_0) \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} \varphi' := -\frac{\varphi_0}{k} \end{align*}$ ist demnach $\begin{align*} w(\varphi')=A\cos(0)=A \end{align*}$ , die Bedingung

$\begin{align*} A = w(\varphi') \stackrel{!}{=} w(\varphi'+2\pi) = A \cos(2\pi k) \end{align*}$

führt dann zur Gleichung $\begin{align*} \cos(2\pi k) = 1 \end{align*}$ , damit solltest du weiterkommen, oder?

11.09.2014, 20:15

Samuel323

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{eqnarray*} \varphi' := -\frac{\varphi_0}{k} \end{eqnarray*}$ ist demnach $\begin{eqnarray*} w(\varphi')=A\cos(0)=A \end{eqnarray*}$ , die Bedingung

$\begin{eqnarray*} A = w(\varphi') \stackrel{!}{=} w(\varphi'+2\pi) = A \cos(2\pi k) \end{eqnarray*}$

führt dann zur Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(2\pi k) = 1 \end{eqnarray*}$ , damit solltest du weiterkommen, oder?

Ab hier versteh ich ehrlich gesagt nicht mehr was du machst?

Kann ich es nicht aus der Gleichung direkt irgendwie rauslesen?

11.09.2014, 20:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samuel323
Kann ich es nicht aus der Gleichung direkt irgendwie rauslesen?

Ich kann dir nur soviel sagen: Absichtlich komplizierte Wege sind nicht mein Ding - wenn, dann passiert das versehentlich. Insofern kannst du gern einen einfacheren Weg nehmen, so du (oder ein anderer) einen solchen findet. Augenzwinkern

11.09.2014, 20:29

Samuel323

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ok Danke trotzdem.

11.09.2014, 20:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samuel323
Danke trotzdem.

Dann lieber gar kein Danke - ich hasse diese Floskel. unglücklich

11.09.2014, 20:37

Samuel373

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Du hast es immerhin versucht. Das verdient ein Danke. Ich werd aber einfach wo anders versuchen.

11.09.2014, 20:38

HAL 9000

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Die Floskel wird aller Regel von Leuten verwendet, die bei einem einfachen Weg maulen, dass er nicht noch einfacher ist - also die klassischen Dünnbrettbohrer. Ich weiß wirklich nicht, warum du den Weg ablehnst. unglücklich

11.09.2014, 20:54

Samuel373

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$\begin{eqnarray*} Ich weiß wirklich nicht, warum du den Weg ablehnst. \end{eqnarray*}$
Das ist ganz einfach: Weil er einfach sehr schlecht vom Autor beschrieben wird...
Mathematik zu beschreiben ist eine Kunst, einfach so Formeln hinzumalen kann jeder unerfahrene auch. Die eigentliche Schwierigkeit des Mathematikers ist es aber noch immer sauber zu argumentieren und Schritt für Schritt auch mit Worten zu erklären.

Daher denke ich nicht einmal daran deine Hyroglyphen zu verstehen, denn das würde mich viel mehr Zeit kosten als einfach wo anders zu fragen...

Lg

11.09.2014, 21:00

HAL 9000

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Hübscher Vortrag, der total ins Leere geht:

Das einzige, was ich nicht ausführlich erklärt habe ist, dass sich $\begin{align*} w(\varphi) = C \sin(k \varphi)+ D \cos(k \varphi) \end{align*}$ in die Darstellung $\begin{align*} w(\varphi) = A \cos(k \varphi + \varphi_0) \end{align*}$ überführen lässt, aber das ist gewissermaßen Standard, wird u.a. auch in zahlreichen Threads hier im Board besprochen.

Und der andere Punkt: Belege doch bitte mal die angeblich mangelnde mathematische Sauberkeit in meiner Argumentation. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Samuel373
und Schritt für Schritt auch mit Worten zu erklären.

Ja, Schritt für Schritt. Aber nicht Kleinstschritt für Kleinstschritt - wird sind hier im Hochschulbereich, da ist ein wenig Mitdenken schon angesagt - z.B., dass man den Verlauf der Kosinusfunktion kennt oder zumindest nachschlagen kann.

11.09.2014, 21:13

Samuel323

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Wenn ich eines gelernt habe, dann dass man andere nicht umstimmen kann.
Egal was ich sage, deine Meinung wird bleiben, dass du die Situation bestens erklärt hast.

Vielleicht hilft dir ja dieser Tipp: Es geht eher weniger um Formeln beim Erklären, sonder neher um die Zwischenzeilen und die Gedanken die mich zur Formel überhaupt bringen. Meiner Meinung nach hast du diese Gedanken sehr gut versteckt und nur scheinbare Tatsachen hingezeichnet. Das ist aber nur meine Meinung.

Wenn du mit dir zufrieden bist, dann ist das auch ok so.

Zitat:

Ja, Schritt für Schritt. Aber nicht Kleinstschritt für Kleinstschritt - wird sind hier im Hochschulbereich

Diese Argumentation ist natürlich völlig daneben. Genau weil wir im hochschulbereich sind, zählen die kleinsten Details viel mehr als die groben...
Es ist ziemlich verfehlt das Gegenteil zu behaupten.
Auch hier: Wenn du das anders siehst, ist ok. Ich jedenfalls halte nichts von Mathematikern die es gelernt haben zu verschlüsseln, sich jedoch sehr schwer beim Entschlüsseln tun.

11.09.2014, 21:15

HAL 9000

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Na wie du meinst, ich werde dich nicht umstimmen können.

Motto dieses Boards ist "Hilfe zur Selbsthilfe" - nicht: Wir rechnen alles vor.

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Bei entsprechenden Vorkenntnissen zu periodischen Funktionen (von denen ich nicht weiß, ob du sie hast) kann man alternativ auch so argumentieren:

Aufgrund der Periodizitätseigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktion ist $\begin{align*} w(\varphi) = C \sin(k \varphi)+ D \cos(k \varphi) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} k\neq 0 \end{align*}$ periodisch mit der kleinsten Periode $\begin{align*} T=\frac{2\pi}{|k|} \end{align*}$ .

Andererseits ist $\begin{align*} w \end{align*}$ wegen der Eigenschaft $\begin{align*} w(\varphi + 2\pi)=w(\varphi) \end{align*}$ auch periodisch mit der Periode $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ ... Bleibt nur noch ein Schritt.

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