Zeigen, dass Ring Nullteilerfrei ist (und nicht gleich einem anderen Ring)

11.09.2014, 16:00	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Ring Nullteilerfrei ist (und nicht gleich einem anderen Ring) Moin, bei folgenden zwei Aufgabenteilen habe ich glaube ich jeweils das gleiche Problem. Ich kann zwar tolle Gleichungen aufstellen die gelten müssten bzw. nicht gelten dürften aber ich kann nicht zeigen, dass sie wirklich nicht gelten. Da sind einfach zu viele Variablen drin . Folgende Situation: Gegeben ist folgende Aussage: Für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{z}] = \{ r+s\sqrt{z} \| r,s \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray}$ ist der kleinste Ring, welcher $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}, \sqrt{z} \end{eqnarray}$ enthält. Für $\begin{eqnarray} 0 \neq z \in \ \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} [1/\sqrt{z}] = \{ (r+s \sqrt{z})/ (\sqrt{z})^n \| r,s \in Z, n \in \mathbb{N}_0 \} \end{eqnarray}$ ein nullteilerfeier Ring mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq \mathbb{Z}[1/\sqrt{z}] \end{eqnarray}$ Gleichheit gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray} z \in \{1,-1\} \end{eqnarray}$ . Ich muss noch zeigen, dass der Ring nullteilerfrei ist und das die Gleichheit genau dann gilt, wenn z entweder 1 oder -1 ist. Ich habe gezeigt, dass Gleichheit gilt, wenn z 1 oder -1 ist aber noch nicht, dass sonst keine Gleichheit gelten kann. Ich bin folgendermaßen vorgegangen, ich habe mir zuerst ein Element des "größeren" Rings genommen und dann versucht zu zeigen, dass im kleineren Ring dieses Element auch vorhanden ist. Dabei müsste ja eigentlich ein Widerspruch auftreten. Gesucht sind also r,s aus Z mit $\begin{eqnarray} r+s \sqrt{z} = (k+m \sqrt{z})/\sqrt{z}^n \end{eqnarray}$ wobei k,m,n beliebig und z nicht 1 oder -1 ist. Leider finde ich da keinen sicheren Widerspruch. Man könnte die Variablen ja sonstwie belegen und vielleicht kommts irgendwie doch hin. Genauso beim zweiten Problem mit der Nullteilerfreiheit. Ich habe mir dazu zwei Elemente aus dem Ring genommen und multipliziert. Wenn es keinen Nullteiler gibt, dann müsste ich ja ausschließen können, dass das Produkt irgendwie 0 wird (wenn ich nicht mit 0 multipliziere). Es sieht so aus: $\begin{eqnarray} ((r+s\sqrt{z})/\sqrt{z}^n)((k+m\sqrt{z})/\sqrt{z}^t) = 0 \end{eqnarray}$ Wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich nen Bruch und da müsste der Zähler 0 werden. Es muss also gelten: $\begin{eqnarray} rk+rm\sqrt{z}+sk\sqrt{z}+smz = 0 \end{eqnarray}$ In diesem Fall gäbe es Nullteiler. Also liegt in der Gleichung ein Widerspruch versteckt. Ich habe also bei beiden Aufgabenteilen irgendwie Gleichungen mit vielen Variablen und schaff es nicht, den Fehler zu zeigen. Wie geht man bei sowas vor? Gruß Martin
11.09.2014, 16:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullteilerfreiheit ist trivial, da es ein Unterring von $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ ist. Dann zur Gleichheit: Dein Ansatz macht keinen Sinn. Du sollst dir ja nicht ein beliebiges Element aus dem größeren Ring nehmen und zeigen, dass es nicht in dem kleineren liegt (Das geht ja gar nicht), sondern "das richtige Element" nehmen. Und selbstverständlich gilt in $\begin{align} \mathbb Z[\sqrt{z}] \subset \mathbb Z\left[\frac{1}{\sqrt{z}}\right] \end{align}$ genau dann Gleichheit, wenn $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{z}} \in \mathbb Z[\sqrt{z}] \end{align}$ gilt. Und aus der letzten Aussage kann man leicht $\begin{align} z = \pm 1 \end{align}$ folgern.
11.09.2014, 16:51	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass das nicht geht war ja eigentlich das Ziel. Die Gleichheit habe ich so gezeigt. Ich habe mir ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[1/\sqrt{z}] \end{eqnarray}$ genommen mit der Einschränkung, dass z entweder 1 oder -1 sein sollte. Dann hab ich gezeigt, dass unter dieser Einschränkung jedes Element auch in $\begin{eqnarray} Z[\sqrt{z}] \end{eqnarray}$ enthalten ist. Für jedes Element aus dem größeren Ring finde ich also ein Element aus dem kleineren Ring, welches gleich ist. So zeigt man ja für gewöhnlich, dass Mengen gleich sind. A ist in B enthalten und B ist in A enthalten. Die eine Richtung hatte ich hier schon, die andere habe ich dadurch gezeigt. Um jetzt zu zeigen, dass das nicht so ist, wenn z nicht 1 oder -1 ist habe ich den gleichen Ansatz ausprobiert und mir dann über mögliche Variablenbelegungen Gedanken gemacht. Dabei habe ich, wie du schon gesagt hast, das "richtige" Element gesucht. Ein Element aus dem größeren Ring, welches nicht im kleinen drin ist. Das hatte ich vielleicht nicht ganz klar formuliert. Deinen Ansatz verstehe ich, aber auch da sehe ich nur die Folgerung, dass es für +-1 funktioniert. Deb Widerspruch dazu, dass es auch mit anderen Elementen funktionieren könnte, sehe ich nicht. Damit $\begin{eqnarray} 1/\sqrt{z} \end{eqnarray}$ enthalten ist, müssen ja r uns s existieren aus den ganzen Zahlen mit: $\begin{eqnarray} r+s\sqrt{z} = 1/\sqrt{z} \end{eqnarray}$ . Wie zeige ich dabei, dass es KEIN z gibt, für das ich irgendwelche s und r finde, welche die Gleichung erfüllen (außer für z = +-1)? Ich mein es könnte ja theoretisch sein, dass es irgend ein z gibt, so dass ich die Gleichung mit r und s aus den ganzen Zahlen lösen könnte.
11.09.2014, 17:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Theoretisch kann alles sein, aber das ist dann die Stelle an der du halt auch mal was tun musst. Du hast die Gleichung $\begin{align} r+s\sqrt{z}= \frac{1}{\sqrt{z}} \end{align}$ . Was machst du nun als erstes (sehr intuitiv)?
11.09.2014, 19:51	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich multipliziere mit Wurzel z. Hab ich hier zumindest eben gemacht, dann habe ich: $\begin{eqnarray} r\sqrt{z} + sz = 1 \end{eqnarray}$ Damit das ginge, müsste also z schon eine Quadratzahl sein. Ansonsten habe ich eine Summe aus Bruch (bzw reeller nicht ganzer Zahl) und einer ganzen Zahl und das kann nicht 1 werden. z kann auch nicht negativ sein, sonst krieg ich da die imaginäre Einheit rein und mit dem zweiten Summanden nicht mehr weg. Also müsste z eine positive Quadratzahl sein. Damit liegen aber z und Wurzel aus z mindestens um den Betrag 2 auseinander. Vielfache von z und Wurzel z haben somit als Abstand auch immer entweder mindestens 2 oder 0. Damit bekomme ich als Summe nie 1 heraus. Reicht das aus? Bei solchen Gedankengängen weiß ich nie, ob ich nicht doch irgendwo einen Fall übersehen habe. Ich hab lieber klare Gleichungen, bei denen am Ende links etwas anderes steht als rechts je stehen könnte und wo man das auch direkt sieht. Auf solche Gleichungen komm ich nur leider nie. Gruß Martin
12.09.2014, 10:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Argument ist falsch. 3 und 5 haben auch Abstand 2, aber 25-33=1. Falls z eine Quadratzahl ist, so ist des entscheidende Argument, dass dann die linke Seite der Gleichung durch $\begin{align} \sqrt z \end{align}$ teilbar ist. Dein Argument, warum die Gleichung nicht erfüllt ist, wenn z keine Quadratzahl ist, passt auch nicht. Du solltest zunächst begründen, warum in dem Fall r = 0 folgt. Und dann steht die Behauptung $\begin{align} z = \pm 1 \end{align}$ schon da.
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