Faktorisieren von Funktionen 3. Grades

11.09.2014, 17:58

poly123

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Faktorisieren von Funktionen 3. Grades

Moin Moin,

ich habe Probleme mit dem berechnen von Nullstellen, bzw. eher die die Eigenwerte von 3x3 Matrizen. Gegeben ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8-x &0 &0 \\ 0 &6-x &2 \\ 0 &2 &6-x \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
=(8-x)*(6-x)*(6-x)-4*(8-x)

Daraus eine Funktion erstellen ist kein Problem, dann fehlt mir jedoch eine Nullstelle uaf die man nur mit Raten kommt. In meinen Lektionen habe ich auch Nullstellen mit nachkommastellen. Im Lösungsheft wird daraus folgendes erstellt:

(8-x)*(8-x)*(4-x)=0

Aus dieser Form kann man die Nullstelen ablesen. Leider bekomme ich es nicht alleine hin und das was ich bisher beim Stöbern im Internet gefunden habe hat mir auch nicht viel geholfen.
Ich denke auch, dass es komplizierter wird wenn die Matrix weniger Nullen enthällt.

Bin für alles offen und bedanke mich schonmal.

Gruß Robert

11.09.2014, 18:00

Gast11022013

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Denke mal ans ausklammern.

11.09.2014, 18:17

poly123

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Daran denke ich ja, aber ich hab totale Probleme dabei irgendwie den Anfang zu finden. Ich habe auch leider keine anderen Infos übers ausklammern gefunden die mir geholfen haben.

11.09.2014, 18:25

Gast11022013

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Wie man ausklammert weißt du aber?
Die weißt nur nicht was du ausklammern kannst?

Oder liegt dein Problem daran, dass du nicht weißt wie man ausklammert?

11.09.2014, 18:30

poly123

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Wie man ausklammert weiss ich. Ich sehe nur hier nicht wie ich ausklammern kann. So große Formeln musste ich noch nie ausklammern, und die Übung fehlt. Ich hab mir heute und gestern na Menge über das Ausklammern durchgelesen, viel geholfen hat es nicht.
Mir fehlt irgendwie eine einfeache Grundstruktur wie ich vorzugehen habe, glaube ich. Ich stehe davor, sehe das Ziel, aber der Weg ist vollkommen verschwommen.

11.09.2014, 18:32

Gast11022013

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Du hast hier zwei Summanden. Ausklammern tut man ja immer Faktoren die beide Summanden gemeinsam haben.
Suche in den Summanden also gemeinsame Faktoren.

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11.09.2014, 18:50

poly123

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Sehe ich das richtig?
Summand 1: -32
Summand 2: +4x
Weil: -4*(8-x)= -32+4x

Gemeinsamer Faktor: 4

=(8-x)*(6-x)*(6-x)-4*(8-x)
=(8-x)*(6-x)*(6-x)-32+4x
=(8-x)*(6-x)²-32+4x
=(8-x)*(36-x)-32+4x

Lässt sich alles durch 4 Teilen. Ist das soweit richtig?

11.09.2014, 18:58

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \underbrace{(8-x)(6-x)(6-x)}_{\text{erste Summand}}-\underbrace{4*(8-x)}_{\text{zweiter Summand}}=0 \end{eqnarray*}$

Das Problem mit dem ausklammern ist eigentlich "optischer" Natur.

Konstanten auszuklammern ist eigentlich recht unnütz. Dadurch hast du keine einfachere Rechnung. Gerade deshalb weil du sie ja auch einfach dividieren könntest.
Wenn du mit ausklammern etwas bezwecken möchtest, dann sollte es schon ein Linearfaktor sein um den Satz vom Nullprodukt anzuwenden, was einem in diesem Fall die Polynomdivision und das ausmultiplizieren erspart.

Was du in deiner Rechnung machst verstehe ich auch teilweise nicht.

Von der dritten auf die vierte Zeile:

Zitat:

=(8-x)*(6-x)²-32+4x
=(8-x)*(36-x)-32+4x

Wie hast du hier das Quadrat aufgelöst?
Das ist jedenfalls falsch. Es scheint als hättest du aus

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=(a^2-b) \end{eqnarray*}$

gemacht. Üblicher wäre zwar $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ , ist aber natürlich immer noch falsch.

11.09.2014, 19:12

poly123

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ja, sorry da waren die Finger wohl schneller als der Kopf.

=(8-x)*(6-x)*(6-x)-4*(8-x)
=(8-x)*(36-12x+x²)-4*(8-x)

gemeinsamer Faktor: 4

11.09.2014, 19:15

Gast11022013

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Jetzt hättest du es zwar richtig ausmultipliziert, aber darum geht es hier gar nicht.
Es geht nur darum zu untersuchen welche Faktoren die beiden Summanden

(8-x)(6-x)^2 und 4(8-x) gemeinsam haben.

Der erste Summand setzt sich aus den Faktoren

(8-x) und (6-x)^2 zusammen.

Der zweite Summand setzt sich aus den Faktoren

4 und (8-x)

zusammen.

Na, und welcher Faktor kommt in beiden nun gemeinsam vor?

11.09.2014, 19:20

poly123

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2 bin ich mir fast sicher.
Grad ist alles Selbstvertrauen irgendwie weg...

11.09.2014, 19:22

Gast11022013

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Wie gesagt ist es nicht unser Ziel konstante Faktoren auszuklammern, sondern irgendwas Variables. Und wie gesagt basiert ausklammern mehr auf hinsehen als auf tatsächliches rechnen.

11.09.2014, 19:33

poly123

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(2-x) oder nur -x? Ich tendiere eher zu -x. Was macht man dann aber mit der 4?

11.09.2014, 19:36

Gast11022013

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Du rätst, solltest jedoch hinsehen.

11.09.2014, 19:37

poly123

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(8-x) natürlich

11.09.2014, 19:43

Gast11022013

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Natürlich!

Und nun.

11.09.2014, 22:00

poly123

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So, da bin ich wieder. Hab nicht gesehen das es auf Seite 2 weitergeht und erstmal den Kopf frei gemacht.
Vielen Dank nochmal für deine Geduld.

Jetzt habe ich folgende Schritte gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \left(8-x\right) \left(\left(6-3x\right)\left(6-3x\right)-4 \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(8-x\right) \left(32-12x+x^{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(8-x\right) \left(4\left(8-3x\right)+x^{2} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich die linke Klammer in 2 Klammern auflösen

11.09.2014, 22:04

Gast11022013

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Die 3 vor dem x in deiner ersten Zeile tue ich mal als Tippfehler ab.

$\begin{eqnarray*} (8-x)((6-x)^2-4)=0 \end{eqnarray*}$

Begehe nicht den Fehler, dass du dich nun zwanghaft aufs ausklammern versteifst.

Wir haben nun ein Produkt vorliegen.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn ...

11.09.2014, 22:13

poly123

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Wenn ein Faktor Null ist.

11.09.2014, 22:15

Gast11022013

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Wenn einer der beiden Faktoren Null ist, um genau zu sein.

Es ist also

$\begin{eqnarray*} (8-x)=0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (6-x)^2-4=0 \end{eqnarray*}$

letztere Gleichung könntest du eben ausmultiplizieren, so wie du es bereits gemacht hast. Es gibt aber auch noch ein paar andere Lösungsmethoden. Eine schöner als die andere...

11.09.2014, 22:25

poly123

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Ich hätte jetzt die Nullstellen berechnet wie ich es immer mit quadratischen Funktionen mache.
$\begin{eqnarray*} x= -\left(-6\pm \sqrt{4} \right) \end{eqnarray*}$

x1=4
x2=8

Und so haben wir unsere anderen gewünschen 8 und 4 aus der Lösung?

11.09.2014, 22:30

Gast11022013

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Das ist richtig, wobei die 8 eine doppelte Lösung wäre.

Ich hoffe doch, dass du nicht erst ausmultipliziert hast um dann die quadratische Ergänzung anzuwenden.

Eine andere recht nette alternative wäre die Anwendung der dritten binomischen Formel

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6-x)^2-2^2=(6-x+2)(6-x-2)=(8-x)(4-x) \end{eqnarray*}$

und man kann die Lösungen direkt ablesen.
Würde auch wieder ein wenig zum ausklammern passen.

11.09.2014, 22:38

poly123

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Wenn ich eine Funktion sehe die so aussieht wie diese sehe ich inzwischen im kopf die Nullstellenform.
Die 3 Binomische Formel musste ich in den letzten 5 Jahren als einzige nicht anwenden deswegen hab ich die nicht auf abruf parat wie die anderen.

Echt nochmal vielen Dank! Ich saß an dieser Art von Aufgabe schon mehrere Tage und bin kein Stück weiter gekommen. Gott

Gott

Gleich Morgen früh wird weiter gemacht um die neuen Erkentnisse im Kopf zu speichern.

Alles gute,
Robert

11.09.2014, 22:41

Gast11022013

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Dabei ist die dritte binomische Formel doch die coolste der drei.
Ruhig im Hinterkopf behalten.

Gern geschehen.

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