Analytische Zahlentheorie

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sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »
Analytische Zahlentheorie
Meine Frage:
Liebes matheboard-Forum,

ich stehe vor folgendem Problem. Wir definieren

gilt.

Nun stehe ich aber vor dem Problem, dass ich folgende Gleichheit zeigen möchte und nicht weiß, wie :-) :


Meine Ideen:
Also prinzipiell habe ich den Weg versucht, dass ich in der ersten Gleichung setze. Das Problem, dass ich aber habe, ist quasi der Übergang von der endlichen Summe der bereits gezeigten Gleichung zur Reihe der zu zeigenden Gleichung...Wie kann ich diesen darstellen?
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, latex-fehler:
Der Eintrag sollte eigentlich wie folgt lauten:

Liebes matheboard-Forum,

ich stehe vor folgendem Problem. Wir definieren , wobei letzteres die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet. Bereits zeigen konnte ich, dass



gilt.

Nun stehe ich aber vor dem Problem, dass ich folgende Gleichheit zeigen möchte und nicht weiß, wie :-) :
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest für ganzzahlige ist ja

.

Oder meinst du nicht eher ?
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, sorry. Natürlich mit n als Argument...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Wesentlichen folgt die Behauptung aus , was recht leicht einzusehen ist, wenn man das (grobe) asymptotische Verhalten der harmonischen Reihe kennt.
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal für die Antwort!

Ich weiß aber noch nicht, wie diese mir helfen kann. Wenn ich also versuche, das, was ich bisher habe, also eine endliche Summe, als Reihe zu schreiben, erhalte ich doch folgende Gleichung:



In jeder Reihe steht somit insbesondere noch die Möbiusfunktion, sodass ich doch nicht einfach deine Hilfe einsetzen kann, oder?
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du irgendwie einer Lösung nahe kommst, ist es nötig, dass du dir Gedanken über den Ausdruck für machst. Augenzwinkern
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann -.- danke, da hätte man auch selbst drauf kommen können...okay fällt also der hintere teil weg - schonmal besser :-)

Wenn wir uns dem vorderen Teil widmen, erhalten wir mit und der binomischen Formel, dass die Klammer zu wird. Damit bekommen wir den vorderen Teil von dem, was wir wollen.

Bleibt also zu zeigen, dass
gilt...

Ist das bis hierhin richtig? Falls ja, wie kann ich das zeigen?

Danke!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Rechnung schon wesentlich vorsichtiger durchführen: existiert ja gar nicht.

Klar ist doch mittlerweile:

Es reicht zu zeigen.

Dazu spalten wir auf:

.

Mit dem ersten Term kannst du jetzt meinentwegen so rechnen, wie du es schon wolltest. Dass der zweite Term in liegt, reduziert sich ja auf die Frage, wie schnell gegen Null geht. Aber das sollte kein Problem sein, oder?
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

mh okay - ja mit der O-Schreibweise bin ich noch nicht so richtig vertraut, aber klar hast du recht.

Vielleicht stehe ich gerade einfach nur auf dem Schlauch: Aber wieso reicht es das, was du geschrieben hast, zu zeigen?
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vergiss den letzten Post, natürlich ist das klar.

Was mir allerdings nun zum letzten Schritt noch fehlt, ist das, was du gesagt hast mit der Abschätzung von der hyperharmonischen Reihe - kann ich die einfach gegen log(x)/x abschätzen [dann würde es ja passen]?

Ich kenne den Satz mit der Eulerkonstante, also dass wir die harmonische Reihe (für n<= x) abschätzen können gegen ln(x) + \gamma + O(1/x), kann ich das hier verwenden?

Danke für deine ganze Hilfe!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt viele Möglichkeiten abzuschätzen, mind. 2 davon sind dir in Ana 1 bestimmt mal begegnet.


1. Möglichkeit: . Letzteres ist nun eine Teleskopsumme, die kannst du genau berechnen.

2. Möglichkeit: Wir schätzen die Summe durch ein Integral ab: .

Beides wird dir - mehr als wir brauchen - liefern.
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den dritten Post hintereinander...

Wahrscheinlich geht das jetzt in die selbe Richtung wie meine Frage eben. Und zwar diesmal zu dem Schritt, den ich im Laufe des Beweises zweimal tun muss, nämlich eben, dass . Wenn ich das zeigen will, mache ich folgendes:

,

wie bekomme ich also das O(x) weg?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch . Also interessiert dich das doch gar nicht.
sBs94 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja.......... Aus irgendeinem komplett abstrusen Grund hatte ich gedacht, das sei nicht der Fall, da log(x) ja nicht zwingend größer als 1 sein muss - aber uns geht es ja um x genügend groß;-)

danke danke danke! Ich denke man kann den Post jetzt schließen [btw: ich werd mich bald mal registrieren, kann man dann selbst eigene Posts schließen?]
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist hier keine gängige Praxis die Threads zu schließen, wenn sie abgearbeitet sind. Sie bleiben einfach offen. Stört ja keinen smile
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