Zwei Kegelstümpfe in Halbkugel legen

12.09.2014, 11:00	Haifisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Kegelstümpfe in Halbkugel legen Hallo ich bin gerade dabei, das Volumen einer Kugel durch vier Kegelstümpfe zu ersetzen. Also betrachte ich eine Halbkugel und spiegel das. Die Halbkugel soll mein Deckel werden und nun versuche ich, den Flächeninhalt der Halbkugel bestmöglich durch zwei (und nicht unendlich viele) Kegelstümpfe zu ersetzen. Mir fehlt wohl einfach die richtige Herangehensweiße. Ich habe einfach mal beide Volumina gleichgesetzt: $\begin{eqnarray} V_{K} = V_{1} + V_{2} \end{eqnarray}$ Index K steht für die Kugel, Index 1 für den größeren Kegelstumpf, Index 2 für den kleineren. Wenn ich nun folgendes einsetze $\begin{eqnarray} V_{K}= \frac{4}{3} \cdot \pi r^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{1}=\frac{h_{1}\pi}{12}(D^{2} +d^{2} + Dd) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{2}=\frac{h_{2}\pi}{12}(d^{2} +c^{2} + dc) \end{eqnarray}$ D ist der Durchmesser der Kugelmitte, d der Durchmesser der Kegelspitze von Kegel 1 und damit Durchmesser der Grundfläche von Kegel 2. c ist Durchmesser der Kegelspitze von Kegel 2. Beides in die Ausgangsgleichung und es bleiben zu viel offene Variablen... Pi lässt sich zwar kürzen und die 12 auch, aber selbst wenn ich für D_1=1,3365 einsetze, bleiben die beiden Höhen und die letzten beiden Durchmesser. Vielleicht kann mir hier ja jemand weiterhelfen. Danke und ein schönes Wochenende.
12.09.2014, 11:51	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Kegelstümpfe in Halbkugel legen Guten Tag, 1. Du kannst Die Höhen der beiden Kegelstümpfe frei wählen. Du musst allerdings begründen, warum Deine Wahl die am besten geeignete ist. 2. Sei R der Radius der Kugel. Dann gilt folgende Beziehung: $\begin{eqnarray} \left( \frac D2 \right)^2+h^2=R^2 \end{eqnarray}$ (Das gilt für alle Durchmesser, also D, d, $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , usw, und den dazugehörenden Höhen.)
12.09.2014, 13:38	Haifisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} h_{1}=\frac{2}{3} ; h_{2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ bin ich auf $\begin{eqnarray} V_{Kegel}=4,2978m^{3} \end{eqnarray}$ gekommen, was recht nah an den 4,9999 ist. Die Sehnenlänge und damit d hab ich mit Pythagoras berechnet. c bzw. delta hab ich gleich 0 gesetzt. Danke schon einmal.

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